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Método axiomático: descripción, etapas de desarrollo y ejemplos. Métodos para construir una teoría científica: axiomática, genética, hipotético-deductiva, matemática.

El método axiomático es un método para construir una teoría matemática en el que se utilizan como base determinadas disposiciones que se aceptan sin prueba (axiomas) y todas las demás se deducen de ellas de forma puramente lógica. Con una aplicación radical de este enfoque, las matemáticas se reducen a pura lógica, de la que se eliminan cosas como la intuición, las representaciones geométricas visuales, el razonamiento inductivo, etc. Cuál es la esencia de la creatividad matemática desaparece. ¿Por qué entonces se inventó este método? Para responder a esta pregunta necesitamos remontarnos a los inicios de las matemáticas.

1. Axiomas: dos interpretaciones

Como recordamos de la escuela, las demostraciones matemáticas, axiomas y teoremas aparecieron en Antigua Grecia. La construcción axiomática de la geometría fue canonizada en el libro que enseñó matemáticas a muchas generaciones: los Elementos de Euclides. Sin embargo, en aquellos días el concepto de axioma se entendía de manera diferente a como se entiende ahora. Hasta ahora, los libros de texto escolares a veces dicen que los axiomas son verdades obvias aceptadas sin prueba. En el siglo XIX este concepto cambió mucho porque desapareció la palabra “obvio”. Los axiomas ya no son obvios; todavía se aceptan sin prueba, pero, en principio, pueden ser enunciados completamente arbitrarios. Detrás de este pequeño cambio, a primera vista, se esconde un cambio bastante radical en la posición filosófica: la negativa a reconocer la única realidad matemática posible. Rol principal La historia del surgimiento de la geometría no euclidiana, que se produjo en el siglo XIX gracias al trabajo de científicos como N. I. Lobachevsky y J. Bolyai, ciertamente jugó un papel en este cambio.

2. El problema del axioma de las rectas paralelas

La historia de la geometría no euclidiana comenzó con intentos de probar el llamado quinto postulado de Euclides, el famoso axioma de las paralelas: a través de un punto fuera de una línea, no se puede trazar más de una línea paralela a la dada. Esta afirmación era de naturaleza notablemente diferente del resto de los axiomas de Euclides. A muchos les pareció que era necesario demostrarlo; no era tan obvio como los otros axiomas. Estos intentos no tuvieron éxito durante siglos; muchos matemáticos propusieron sus propias “soluciones”, en las que otros matemáticos posteriormente encontraron errores. (Ahora sabemos que estos intentos estaban obviamente condenados al fracaso; este fue uno de los primeros ejemplos de afirmaciones matemáticas no demostrables).

3. Geometría de Lobachevski

Sólo en el siglo XIX se comprendió que tal vez esta afirmación era en realidad indemostrable y que existía alguna otra geometría, completamente diferente a la nuestra, en la que este axioma era falso. ¿Qué hizo Lobachevski? Hizo lo que suelen hacer los matemáticos cuando intentan probar un enunciado. Una técnica favorita es la prueba por contradicción: supongamos que la afirmación dada es falsa. ¿Qué se sigue de esto? Para demostrar el teorema, los matemáticos intentan derivar una contradicción a partir de la suposición formulada. Pero en en este caso Lobachevsky recibió cada vez más consecuencias matemáticas y geométricas nuevas de la suposición hecha, pero se alinearon en un sistema muy hermoso e internamente consistente, que sin embargo difería del euclidiano al que estamos acostumbrados. Un nuevo mundo de geometría no euclidiana, diferente al que estamos acostumbrados, se estaba desarrollando ante sus ojos. Esto llevó a Lobachevsky a darse cuenta de que tal geometría era posible. Al mismo tiempo, el axioma de las paralelas en la geometría de Lobachevsky contradecía claramente nuestra intuición geométrica cotidiana: no sólo no era intuitivamente obvio, sino que desde el punto de vista de esta intuición era falso.

Sin embargo, una cosa es imaginar que esto es posible en principio, y otra probar estrictamente matemáticamente que tal sistema de axiomas para la geometría es consistente. Esto se logró varias décadas después en los trabajos de otros matemáticos: Beltrami, Klein y Poincaré, quienes propusieron modelos de los axiomas de la geometría no euclidiana en el marco de la geometría euclidiana ordinaria. De hecho, establecieron que la inconsistencia de la geometría de Lobachevsky implicaría la inconsistencia de la geometría euclidiana que nos es familiar. Lo contrario también es cierto, es decir, desde el punto de vista de la lógica, ambos sistemas resultan completamente iguales.

Dicho esto, es necesario hacer una advertencia. La historia de la geometría no euclidiana está bien ilustrada por otro fenómeno observado más de una vez en la historia de la ciencia. A veces, la solución a un problema surge no después, sino antes de que el problema en sí reciba una formulación precisa que todos comprendan bien. Así fue en este caso: a mediados del siglo XIX. Lista llena los axiomas de la geometría elemental aún no existían. Los Elementos de Euclides no fueron suficientemente consistentes en cuanto a la implementación del método axiomático. Muchos de los argumentos de Euclides apelaban a la intuición visual; sus axiomas claramente no eran suficientes ni siquiera para una formulación significativa del problema de la imposibilidad de demostrar el postulado paralelo. En una situación similar se encontraban Lobachevsky con Bolyai y Beltrami con Klein y Poincaré. Plantear el problema de la imposibilidad de demostrarlo en el nivel adecuado de rigor requirió el desarrollo de un aparato de lógica matemática completamente nuevo y el mismo método axiomático.

4. Creación de un método axiomático.

La situación se comprendió después de la publicación del libro "Fundamentos de la geometría" de D. Hilbert, quien propuso el concepto de método axiomático con el que comenzamos. Hilbert se dio cuenta de que para comprender los fundamentos de la geometría, era necesario excluir completamente de los axiomas todo excepto la lógica. Expresó coloridamente esta idea de la siguiente manera: “La validez de los axiomas y teoremas no se verá afectada en absoluto si reemplazamos los términos habituales “punto, línea, plano” por otros igualmente convencionales: “¡silla, mesa, jarra de cerveza”!

Fue Hilbert quien construyó el primer sistema secuencial y Sistema completo axiomas de geometría elemental, esto sucedió a finales del siglo XIX. Así, el método axiomático en realidad fue creado para demostrar la imposibilidad de probar ciertos enunciados, en este caso geométricos.

Hilbert estaba orgulloso de su descubrimiento y pensó que este método podría extenderse a todas las matemáticas en su conjunto: no sólo a la geometría elemental, sino también a la aritmética, el análisis y la teoría de conjuntos. Proclamó el "Programa Hilbert", cuyo objetivo era desarrollar sistemas de axiomas para todas las partes de las matemáticas (e incluso partes de la física) y luego establecer la coherencia de las matemáticas por medios limitados. Tan pronto como Hilbert se dio cuenta de las posibilidades del método axiomático, pareció que se abría un camino directo para tal desarrollo. Hilbert incluso pronunció una frase famosa en 1930, que traducida al ruso suena como "Debemos saber y sabremos", lo que significa que todo lo que los matemáticos deben saber, tarde o temprano lo aprenderán. Este objetivo, sin embargo, resultó poco realista, lo que quedó claro mucho más tarde. Lo más sorprendente es que el teorema que efectivamente refutó estas esperanzas, el teorema de incompletitud de Kurt Gödel, fue anunciado en la misma conferencia de 1930 en la que Hilbert pronunció su famoso discurso, exactamente un día antes de este evento.

5. Posibilidades del método axiomático

El método axiomático de Hilbert permite construir teorías matemáticas sobre enunciados matemáticos claramente definidos, de los cuales se pueden derivar lógicamente otros. De hecho, Hilbert fue más allá y decidió que se podía continuar con la reducción de las matemáticas a la lógica. Además, puede plantearse la pregunta: "¿Es posible deshacerse de la explicación del significado de qué es una operación lógica?" La lógica misma puede eliminarse del método axiomático. De las teorías axiomáticas pasamos a las teorías axiomáticas formales: estas son teorías escritas en forma simbólica, mientras que las matemáticas se convierten no solo en una secuencia de conclusiones lógicas, sino en una especie de juego de reescribir expresiones formales de acuerdo con ciertas reglas. Es este juego, absolutamente sin sentido si lo miras ingenuamente, el que da la exacta modelo matemático de lo que es “evidencia”. Al analizar este juego, se puede demostrar que los teoremas matemáticos no se pueden demostrar. Pero lo principal: como resultado de la formalización, los matemáticos construyeron por primera vez lenguajes completamente formalizados, lo que condujo a la creación de lenguajes de programación y lenguajes de bases de datos. Desarrollo moderno La tecnología informática se basa en última instancia en los descubrimientos que se hicieron en matemáticas a principios del siglo XX.

6. Crítica al método axiomático

Muchos matemáticos critican el método axiomático por el propósito para el que fue creado: le quita significado a las matemáticas. Porque primero libramos a las matemáticas de varios conceptos geométricos, de la intuición. Pasando a una teoría axiomática formal, en general desterramos la lógica de las matemáticas. Y como resultado, todo lo que queda de la prueba sustantiva es un esqueleto formado por símbolos formales. La ventaja de esto último es precisamente que no sabemos qué son el “significado” y la “intuición”, pero sabemos exactamente qué son las manipulaciones con cadenas finitas de caracteres. Esto nos permite construir un modelo matemático preciso de un fenómeno complejo (la evidencia) y someterlo a un análisis matemático.

La prueba matemática era originalmente un proceso psicológico para convencer a un interlocutor de la exactitud de una afirmación en particular. En el sistema formal esto no es así: todo se ha reducido a un proceso puramente mecánico. Este proceso puramente mecánico puede ser realizado por una computadora. Sin embargo, como cualquier modelo, el proceso mecánico transmite sólo algunas de las características de la evidencia real. Este modelo tiene sus límites de aplicabilidad. Es un error pensar que las pruebas formales son pruebas matemáticas “reales” o que los matemáticos realmente trabajan dentro de ciertos sistemas formales.

Por otra parte, cabe mencionar la enseñanza de las matemáticas. No hay nada peor que basar la educación de los escolares en la realización de acciones mecánicas (algoritmos) o en la construcción de conclusiones lógicas formales. De esta forma puedes arruinar cualquier comienzo creativo en una persona. En consecuencia, cuando se enseñan matemáticas, no se debe abordarlas desde la posición de un método axiomático estricto en el sentido de Hilbert: no fue creado para eso.

Euclides aplicó con éxito por primera vez el método axiomático para construir geometría elemental. Desde entonces este método ha experimentado evolución significativa, ha encontrado numerosas aplicaciones no sólo en matemáticas, sino también en muchas ramas de las ciencias naturales exactas (mecánica, óptica, electrodinámica, teoría de la relatividad, cosmología, etc.).

El desarrollo y mejora del método axiomático se produjo en dos líneas principales: en primer lugar, la generalización del método en sí y, en segundo lugar, el desarrollo de técnicas lógicas utilizadas en el proceso de derivar teoremas a partir de axiomas. Para imaginar más claramente la naturaleza de los cambios que han tenido lugar, recurramos a la axiomática original de Euclides. Como es sabido, los conceptos y axiomas iniciales de la geometría se interpretan de una única manera. Por punto, línea y plano, como conceptos básicos de la geometría, se entienden objetos espaciales idealizados, y la geometría misma se considera el estudio de las propiedades del espacio físico. Poco a poco quedó claro que los axiomas de Euclides resultaban ser ciertos no sólo para describir las propiedades de los objetos geométricos, sino también de otros objetos matemáticos e incluso físicos. Entonces, si por punto queremos decir tres numeros reales, bajo una línea recta, un plano: las ecuaciones lineales correspondientes, entonces las propiedades de todos estos objetos no geométricos satisfarán los axiomas geométricos de Euclides. Aún más interesante es la interpretación de estos axiomas con la ayuda de objetos físicos, por ejemplo, los estados de un sistema mecánico y fisicoquímico o la variedad de sensaciones cromáticas. Todo esto indica que los axiomas de la geometría pueden interpretarse utilizando objetos de muy diferente naturaleza.

Este enfoque abstracto de la axiomática fue preparado en gran medida por el descubrimiento de geometrías no euclidianas por N. I. Lobachevsky, J. Bolyai, C. F. Gauss y B. Riemann. Expresión más consistente Un nuevo look sobre los axiomas como formas abstractas que permiten muchas interpretaciones diferentes, que se encuentran en la famosa obra de D. Hilbert “Fundamentos de la Geometría” (1899). “Pensamos”, escribió en este libro, “en tres sistemas diferentes de cosas: a las cosas del primer sistema las llamamos puntos y las denotamos A, B, C,...; Llamamos directas a las cosas del segundo sistema y las denotamos a, b, c,...; Llamamos planos a las cosas del tercer sistema y las designamos como a, B, y,...". De esto queda claro que por "punto", "recta" y "plano" podemos referirnos a cualquier sistema de objetos. Sólo es importante que sus propiedades estén descritas mediante los axiomas correspondientes. El siguiente paso en el camino hacia la abstracción del contenido de los axiomas está asociado con su representación simbólica en forma de fórmulas, así como con la especificación precisa de aquellas reglas de inferencia que describen cómo a partir de unas fórmulas (axiomas) otras fórmulas (teoremas) son obtenidas. Como resultado de esto, el razonamiento significativo con conceptos en esta etapa de la investigación se convierte en algunas operaciones con fórmulas de acuerdo con reglas preestablecidas. En otras palabras, el pensamiento significativo se refleja aquí en el cálculo. Los sistemas axiomáticos de este tipo suelen denominarse sistemas sintácticos formalizados o cálculos.

Los tres tipos de axiomatización considerados se utilizan en ciencia moderna. Se recurre a los sistemas axiomáticos formalizados principalmente cuando se estudian los fundamentos lógicos de una ciencia en particular. Estas investigaciones han alcanzado su mayor alcance en matemáticas en relación con el descubrimiento de las paradojas en la teoría de conjuntos. Los sistemas formales juegan un papel importante en la creación de lenguajes científicos especiales, con la ayuda de los cuales es posible eliminar en la medida de lo posible las imprecisiones del lenguaje natural ordinario.

Algunos científicos consideran que este punto es casi lo principal en el proceso de aplicación de métodos lógico-matemáticos en ciencias específicas. Así, el científico inglés I. Woodger, uno de los pioneros del uso del método axiomático en biología, cree que la aplicación de este método en biología y otras ramas de las ciencias naturales consiste en crear un lenguaje científicamente perfecto en el que se pueda calcular. es posible. La base para construir dicho lenguaje es un método axiomático, expresado en forma de un sistema formalizado o cálculo. Los símbolos iniciales de dos tipos sirven como alfabeto de un lenguaje formalizado: lógico e individual.

Los símbolos lógicos representan conexiones lógicas y relaciones comunes a muchas o la mayoría de las teorías. Los símbolos individuales representan objetos de la teoría en estudio, como la matemática, la física o la biológica. Así como una determinada secuencia de letras del alfabeto forma una palabra, una colección finita de símbolos ordenados forma las fórmulas y expresiones de un lenguaje formalizado. Para distinguir expresiones significativas de un idioma, se introduce el concepto de fórmula correctamente construida. Para completar el proceso de construcción de un lenguaje artificial, basta con describir claramente las reglas para derivar o convertir una fórmula en otra y resaltar como axiomas algunas fórmulas construidas correctamente. Así, la construcción de un lenguaje formalizado ocurre de la misma manera que la construcción de un sistema axiomático significativo. Dado que en el primer caso es inaceptable un razonamiento significativo con fórmulas, la derivación lógica de las consecuencias se reduce aquí a realizar operaciones prescritas con precisión para el manejo de símbolos y sus combinaciones.

el objetivo principal el uso de lenguajes formalizados en la ciencia: un análisis crítico del razonamiento con la ayuda del cual se obtienen nuevos conocimientos en la ciencia. Dado que los lenguajes formalizados reflejan algunos aspectos del razonamiento significativo, también pueden usarse para evaluar las posibilidades de automatizar la actividad intelectual.

Los sistemas axiomáticos abstractos se utilizan más ampliamente en las matemáticas modernas, que se caracterizan por un enfoque extremadamente general del tema de investigación. En lugar de hablar de números concretos, funciones, líneas, superficies, vectores y similares, el matemático moderno considera diversos conjuntos de objetos abstractos, cuyas propiedades se formulan con precisión mediante axiomas. Estas colecciones o conjuntos, junto con los axiomas que los describen, hoy en día se denominan a menudo estructuras matemáticas abstractas.

¿Qué ventajas aportará el método axiomático a las matemáticas? En primer lugar, amplía significativamente el ámbito de aplicación de los métodos matemáticos y, a menudo, facilita el proceso de investigación. Al estudiar fenómenos y procesos específicos en un área particular, un científico puede utilizar sistemas axiomáticos abstractos como herramientas de análisis ya preparadas. Una vez asegurado de que los fenómenos considerados satisfagan los axiomas de alguna teoría matemática, el investigador puede utilizar inmediatamente todos los teoremas que se derivan de los axiomas sin un trabajo laborioso adicional. El enfoque axiomático evita que un especialista en una ciencia específica realice una investigación matemática bastante compleja y difícil.

Para un matemático, este método permite comprender mejor el objeto de investigación, resaltar las direcciones principales en él y comprender la unidad y conexión de diferentes métodos y teorías. La unidad que se logra con la ayuda del método axiomático, en expresión figurada de N. Bourbaki, no es la unidad “que da un esqueleto desprovisto de vida. Es el jugo nutritivo del cuerpo en pleno desarrollo, un instrumento de investigación maleable y fructífero…” Gracias al método axiomático, especialmente en su forma formalizada, es posible revelar completamente la estructura lógica de varias teorías. En su forma más perfecta, esto se aplica a las teorías matemáticas. En el conocimiento de las ciencias naturales tenemos que limitarnos a axiomatizar el núcleo principal de las teorías. Además, el uso del método axiomático permite controlar mejor el curso de nuestro razonamiento, logrando el rigor lógico necesario. Sin embargo, el principal valor de la axiomatización, especialmente en matemáticas, es que actúa como un método para explorar nuevos patrones, estableciendo conexiones entre conceptos y teorías que antes parecían aisladas entre sí.

El uso limitado del método axiomático en las ciencias naturales se explica principalmente por el hecho de que sus teorías deben ser monitoreadas constantemente por la experiencia.

Debido a esto, la teoría de las ciencias naturales nunca se esfuerza por lograr una integridad y un aislamiento totales. Mientras tanto, en matemáticas prefieren trabajar con sistemas de axiomas que satisfagan el requisito de completitud. Pero, como demostró K. Gödel, cualquier sistema coherente de axiomas de naturaleza no trivial no puede ser completo.

El requisito de coherencia de un sistema de axiomas es mucho más importante que el de su integridad. Si un sistema de axiomas es contradictorio, no tendrá ningún valor para el conocimiento. Al limitarnos a sistemas incompletos, es posible axiomatizar sólo el contenido principal de las teorías de las ciencias naturales, dejando la posibilidad de un mayor desarrollo y refinamiento de la teoría a través de la experimentación. Incluso un objetivo tan limitado en varios casos resulta muy útil, por ejemplo, para descubrir algunas premisas y supuestos implícitos de la teoría, monitorear los resultados obtenidos, su sistematización, etc.

La aplicación más prometedora del método axiomático es en aquellas ciencias donde los conceptos utilizados tienen una estabilidad significativa y donde uno puede abstraerse de su cambio y desarrollo.

Es en estas condiciones que resulta posible identificar conexiones lógicas formales entre los diversos componentes de la teoría. Por tanto, el método axiomático, en mayor medida que el método hipotético-deductivo, está adaptado para el estudio de conocimientos ya adquiridos y adquiridos.

El análisis del surgimiento del conocimiento y el proceso de su formación requiere recurrir a la dialéctica materialista, como la doctrina más profunda y completa del desarrollo.

Euclides aplicó con éxito por primera vez el método axiomático para construir geometría elemental. Desde entonces, este método ha experimentado una importante evolución y ha encontrado numerosas aplicaciones no sólo en matemáticas, sino también en muchas ramas de las ciencias naturales exactas (mecánica, óptica, electrodinámica, teoría de la relatividad, cosmología, etc.).

El desarrollo y mejora del método axiomático se produjo en dos líneas principales: en primer lugar, la generalización del método en sí y, en segundo lugar, el desarrollo de técnicas lógicas utilizadas en el proceso de derivar teoremas a partir de axiomas. Para imaginar más claramente la naturaleza de los cambios que han tenido lugar, recurramos a la axiomática original de Euclides. Como es sabido, los conceptos y axiomas iniciales de la geometría se interpretan de una única manera. Por punto, línea y plano, como conceptos básicos de la geometría, se entienden objetos espaciales idealizados, y la geometría misma se considera el estudio de las propiedades del espacio físico. Poco a poco quedó claro que los axiomas de Euclides resultaban ser ciertos no sólo para describir las propiedades de los objetos geométricos, sino también de otros objetos matemáticos e incluso físicos. Entonces, si por punto nos referimos a un triple de números reales, y por línea recta y plano, las ecuaciones lineales correspondientes, entonces las propiedades de todos estos objetos no geométricos satisfarán los axiomas geométricos de Euclides. Aún más interesante es la interpretación de estos axiomas con la ayuda de objetos físicos, por ejemplo, los estados de un sistema mecánico y fisicoquímico o la variedad de sensaciones cromáticas. Todo esto indica que los axiomas de la geometría pueden interpretarse utilizando objetos de muy diferente naturaleza.

Este enfoque abstracto de la axiomática fue preparado en gran medida por el descubrimiento de geometrías no euclidianas por N. I. Lobachevsky, J. Bolyai, C. F. Gauss y B. Riemann. La expresión más consistente de la nueva visión de los axiomas como formas abstractas que permiten muchas interpretaciones diferentes se encontró en la famosa obra de D. Hilbert “Fundamentos de la geometría” (1899). “Pensamos”, escribió en este libro, “en tres sistemas diferentes de cosas: a las cosas del primer sistema las llamamos puntos y las denotamos A, B, C,...; Llamamos directas a las cosas del segundo sistema y las denotamos a, b, c,...; Llamamos planos a las cosas del tercer sistema y las designamos como a, B, y,...". De esto queda claro que por "punto", "recta" y "plano" podemos referirnos a cualquier sistema de objetos. Sólo es importante que sus propiedades estén descritas mediante los axiomas correspondientes. El siguiente paso en el camino hacia la abstracción del contenido de los axiomas está asociado con su representación simbólica en forma de fórmulas, así como con la especificación precisa de aquellas reglas de inferencia que describen cómo a partir de unas fórmulas (axiomas) otras fórmulas (teoremas) son obtenidas. Como resultado de esto, el razonamiento significativo con conceptos en esta etapa de la investigación se convierte en algunas operaciones con fórmulas de acuerdo con reglas preestablecidas. En otras palabras, el pensamiento significativo se refleja aquí en el cálculo. Los sistemas axiomáticos de este tipo suelen denominarse sistemas sintácticos formalizados o cálculos.

Los tres tipos de axiomatización considerados se utilizan en la ciencia moderna. Se recurre a los sistemas axiomáticos formalizados principalmente cuando se estudian los fundamentos lógicos de una ciencia en particular. Estas investigaciones han alcanzado su mayor alcance en matemáticas en relación con el descubrimiento de las paradojas en la teoría de conjuntos. Los sistemas formales juegan un papel importante en la creación de lenguajes científicos especiales, con la ayuda de los cuales es posible eliminar en la medida de lo posible las imprecisiones del lenguaje natural ordinario.

El objetivo principal del uso de lenguajes formalizados en la ciencia es un análisis crítico del razonamiento con la ayuda del cual se obtienen nuevos conocimientos en ciencia. Dado que los lenguajes formalizados reflejan algunos aspectos del razonamiento significativo, también pueden usarse para evaluar las posibilidades de automatizar la actividad intelectual.

El uso limitado del método axiomático en las ciencias naturales se explica principalmente por el hecho de que sus teorías deben ser monitoreadas constantemente por la experiencia.

El análisis del surgimiento del conocimiento y el proceso de su formación requiere recurrir a la dialéctica materialista, como la doctrina más profunda y completa del desarrollo.

El método axiomático es una de las formas de construir deductivamente teorías científicas, en la que:
1. se selecciona un determinado conjunto de proposiciones de una determinada teoría (axiomas) aceptadas sin prueba;
2. los conceptos incluidos en ellos no están claramente definidos en el marco de esta teoría;
3. las reglas de definición y las reglas para elegir una teoría determinada son fijas, lo que permite introducir nuevos términos (conceptos) en la teoría y deducir lógicamente algunas propuestas de otras;
4. todas las demás proposiciones de esta teoría (teorema) se derivan de 1 sobre la base de 3.

En matemáticas, la AM se originó en los trabajos de los geómetras griegos antiguos. Brillante, siendo el único hasta el siglo XIX. El modelo para utilizar AM fue geométrico. sistema conocido como Los "comienzos" de Euclides (c. 300 a. C.). Aunque en ese momento aún no surgía la cuestión de describir la lógica. medios utilizados para extraer consecuencias significativas de los axiomas, en el sistema euclidiano la idea de obtener todo el contenido básico de la geometría ya se lleva a cabo con bastante claridad. teorías mediante un método puramente deductivo a partir de un número determinado y relativamente pequeño de enunciados: axiomas, cuya verdad parecía claramente obvia.

Apertura al principio Siglo 19 El impulso para un mayor desarrollo de AM fue la geometría no euclidiana de N. I. Lobachevsky y J. Bolyai, quienes establecieron que, reemplazando el postulado V habitual y, al parecer, el único "objetivamente verdadero" de Euclides sobre los paralelos con su negación, Puedes desarrollar algo puramente lógico. por geométrico una teoría tan armoniosa y rica en contenido como la geometría de Euclides. Este hecho obligó a los matemáticos del siglo XIX. Preste especial atención al método deductivo de construcción matemática. teorías, que llevaron al surgimiento de nuevos problemas asociados con el concepto mismo de matemática matemática y matemática formal (axiomática). teorías. Como experiencia axiomática acumulada. presentacion de matematicas teorías: aquí es necesario señalar, en primer lugar, la finalización de una construcción lógicamente impecable (en contraste con los Elementos de Euclides) de la geometría elemental [M. Pash (M. Pasch), J. Peano (G. Peano), D. Hilbert (D. Hilbert)] y los primeros intentos de axiomatizar la aritmética (J. Peano), - se aclaró el concepto de axiomática formal. sistemas (ver más abajo); Surgió una característica específica. problemas en base a los cuales el llamado teoría de la evidencia como la sección principal de las matemáticas modernas. lógica.

La comprensión de la necesidad de fundamentar las matemáticas y las tareas específicas en esta área surgió de forma más o menos clara ya en el siglo XIX. Al mismo tiempo, por un lado, el Cap. Arr. en el campo del análisis [A. Cauchy, conceptos teórico-funcionales de B. Bolzano y K. Weierstrass, continuum de G. Cantor y R. Dedekind (R .Dedekind)]; por otro lado, el descubrimiento de geometrías no euclidianas estimuló el desarrollo de las matemáticas matemáticas, el surgimiento de nuevas ideas y la formulación de problemas de metamatemáticas más generales. carácter, en primer lugar, problemas asociados con el concepto de axiomática arbitraria. teorías, como problemas de consistencia, completitud e independencia de un sistema particular de axiomas. Los primeros resultados en este ámbito se obtuvieron mediante el método de interpretación, que a grandes rasgos se puede describir de la siguiente manera. Sea cada concepto inicial y relación de una axiomática dada. La teoría T se pone en correspondencia con una determinada teoría matemática concreta. un objeto. La colección de tales objetos se llama. campo de interpretación. Cada enunciado de la teoría T está ahora naturalmente asociado con un determinado enunciado sobre los elementos del campo de interpretación, que puede ser verdadero o falso. Entonces se dice que el enunciado de la teoría T es verdadero o falso, respectivamente, según esa interpretación. El campo de interpretación y sus propias propiedades suelen ser objeto de consideración de una teoría matemática, generalmente de otra matemática. La teoría T 1, en particular, también puede ser axiomática. El método de interpretación nos permite establecer el hecho de la consistencia relativa de la siguiente manera, es decir, probar proposiciones como: “si la teoría T 1 es consistente, entonces la teoría T también lo es”. Sea la teoría T interpretada en la teoría T 1 de tal manera que todos los axiomas de la teoría T sean interpretados mediante juicios verdaderos de la teoría T 1 . Entonces cada teorema de la teoría T, es decir, cada enunciado A deducido lógicamente de los axiomas en T, es interpretado en T 1 por un enunciado determinado deducido en T 1 de las interpretaciones de los axiomas. Yo, y por tanto cierto. La última afirmación se basa en otra suposición que implícitamente hacemos de cierta similitud lógica. medio de las teorías T y T 1, pero en la práctica esta condición suele cumplirse. (En los albores de la aplicación del método de interpretación, esta suposición ni siquiera se pensaba específicamente: se daba por sentada; de hecho, en el caso de los primeros experimentos, las demostraciones de teoremas sobre la consistencia relativa de la lógica Los medios de las teorías T y T 1 simplemente coincidían: ésta era la lógica clásica de los predicados. ) Ahora bien, dejemos que la teoría T sea contradictoria, es decir, en ella se puede deducir alguna afirmación A de esta teoría junto con su negación. Entonces de lo anterior se deduce que los enunciados y serán al mismo tiempo enunciados verdaderos de la teoría T 1, es decir, que la teoría T 1 es contradictoria. Este método ha sido demostrado, por ejemplo, [F. Klein (F. Klein), A. Poincare (N. Poincare)] consistencia de la geometría no euclidiana de Lobachevsky bajo el supuesto de que la geometría euclidiana es consistente; y la cuestión de la coherencia de la axiomatización de Hilbert de la geometría euclidiana se redujo (D. Hilbert) al problema de la coherencia de la aritmética. El método de interpretación también nos permite resolver la cuestión de la independencia de los sistemas de axiomas: demostrar que el axioma de la Ateoría T no depende de los demás axiomas de esta teoría, es decir, no es deducible de ellos, y, Por lo tanto, es esencial para obtener todo el alcance de esta teoría, basta con construir tal interpretación de la teoría T, en la que el axioma de Abyl sería falso, y todos los demás axiomas de esta teoría serían verdaderos. Otra forma de este método de demostrar la independencia es el establecimiento de la coherencia de la teoría, que se obtiene si en una teoría determinada TaxiomA se reemplaza por su negación. La reducción antes mencionada del problema de la consistencia de la geometría de Lobachevsky al problema de la consistencia de la geometría euclidiana, y este último a la cuestión de la consistencia de la aritmética, tiene como consecuencia la afirmación de que el postulado de Euclides no es deducible de los otros axiomas de la geometría, a menos que la aritmética sea consistente números naturales. La debilidad del método de interpretación es que, en cuestiones de coherencia e independencia de los sistemas de axiomas, permite obtener resultados que inevitablemente son sólo de naturaleza relativa. Pero un logro importante de este método fue el hecho de que con su ayuda se reveló de forma bastante precisa el papel especial de la aritmética como ciencia matemática. teorías, una cuestión similar para otras teorías se reduce a la cuestión de la coherencia.

A. m. recibió un mayor desarrollo - y en cierto sentido este fue el pináculo - en las obras de D. Hilbert y su escuela en la forma del llamado. método formalismo en los fundamentos de las matemáticas. En el marco de esta dirección, se desarrolló la siguiente etapa de esclarecimiento del concepto de axiomática. teorías, es decir, el concepto sistema formal. Como resultado de esta aclaración, fue posible representar los propios matemáticos. teorías como matemáticas exactas objetos y construir una teoría general, o metateoría, tales teorías. Al mismo tiempo, parecía tentadora la perspectiva (y D. Hilbert en un momento quedó fascinado por ella) de resolver todas las cuestiones principales de la fundación de las matemáticas por este camino. El concepto principal de esta dirección es el concepto de sistema formal. Cualquier sistema formal se construye como una clase de expresiones definida con precisión: fórmulas, en las que una subclase de fórmulas, llamadas fórmulas, se distingue de una manera precisa. teoremas de este sistema formal. Al mismo tiempo, las fórmulas de un sistema formal no tienen directamente ningún significado significativo y pueden construirse a partir de iconos o símbolos elementales arbitrarios, en general, guiados únicamente por consideraciones de conveniencia técnica. De hecho, el método de construcción de fórmulas y el concepto de teorema de un sistema formal particular se eligen de tal manera que todo este aparato formal pueda usarse para expresar, quizás de manera más adecuada y completa, un sistema matemático (y no matemático) particular. ) teoría, más precisamente, como su factual Contenido y su estructura deductiva. El esquema general para construir (especificar) un sistema formal arbitrario S es el siguiente.

I. Lenguaje del sistema S:

a) alfabeto: una lista de símbolos elementales del sistema;

b) reglas de formación (sintaxis): reglas según las cuales las fórmulas del sistema S se construyen a partir de símbolos elementales; en este caso, una secuencia de símbolos elementales se considera una fórmula si y solo si se puede construir utilizando las reglas de formación .

II. Axiomas del sistema S. Se identifica un determinado conjunto de fórmulas (generalmente finitas o enumerables), que se denominan. axiomas del sistema S.

III. Reglas de retiro del sistema S. Un conjunto (generalmente finito) de predicados se fija en el conjunto de todas las fórmulas del sistema. S. Dejar - k.-l. de estos predicados, si el enunciado es verdadero para estas fórmulas, entonces dicen que la fórmula se sigue directamente de las fórmulas según la regla

7. Teoría de probabilidad:

Teoría de probabilidad - una ciencia matemática que estudia patrones en fenómenos aleatorios. Uno de los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad es el concepto evento al azar (o simplemente eventos ).

Evento Es cualquier hecho que puede ocurrir o no como resultado de la experiencia. Ejemplos de eventos aleatorios: sacar un seis al lanzar dado, falla de un dispositivo técnico, distorsión de un mensaje al transmitirlo a través de un canal de comunicación. Algunos eventos están asociados con números , caracterizando el grado de posibilidad objetiva de la ocurrencia de estos eventos, llamado probabilidades de eventos .

Existen varios enfoques sobre el concepto de "probabilidad".

La construcción moderna de la teoría de la probabilidad se basa en enfoque axiomático y depende de conceptos elementales teoría de conjuntos. Este enfoque se llama teoría de conjuntos.

Realicemos algún experimento con un resultado aleatorio. Consideremos el conjunto W de todos los resultados posibles del experimento; llamaremos a cada uno de sus elementos evento elemental y el conjunto Ω es espacio de eventos elementales. Cualquier evento A en la interpretación de la teoría de conjuntos hay un cierto subconjunto del conjunto Ω: .

Confiable Se llama evento W que ocurre en cada experimento.

Imposible Se llama evento Æ, que no puede ocurrir como resultado de un experimento.

Incompatible Son acontecimientos que no pueden ocurrir simultáneamente en una misma experiencia.

Cantidad(combinación) de dos eventos A Y B(denotado A+B, AÈ B) es un evento que consiste en que ocurre al menos uno de los eventos, es decir A o B, O ambos al mismo tiempo.

La obra(intersección) de dos eventos A Y B(denotado A× B, AÇ B) es un evento donde ocurren ambos eventos A Y B juntos.

Opuesto al evento A tal evento se llama, que es que el evento A no esta pasando.

Eventos a k(k=1, 2, …, norte) forma grupo completo , si son incompatibles por pares y en total forman un evento confiable.

probabilidad del eventoA llaman a la relación entre el número de resultados favorables a este evento y el número total de todos los resultados elementales incompatibles igualmente posibles que forman el grupo completo. Entonces, la probabilidad del evento A está determinada por la fórmula

donde m es el número de resultados elementales favorables a A; n es el número de todos los posibles resultados de pruebas elementales.

Aquí se supone que los resultados elementales son incompatibles, igualmente posibles y forman un grupo completo. Las siguientes propiedades se derivan de la definición de probabilidad:
Su propio artículo 1. La probabilidad de un evento confiable es igual a uno. De hecho, si el evento es confiable, entonces cada resultado elemental de la prueba favorece el evento. En este caso m = n, por lo tanto,

P(A) = m/n = n/n = 1.

S en aproximadamente con t en aproximadamente 2. La probabilidad de un evento imposible es cero. De hecho, si un evento es imposible, entonces ninguno de los resultados elementales de la prueba favorece el evento. En este caso m = 0, por lo tanto,

P (A) = m / n = 0 / n = 0.

Con en aproximadamente con t en aproximadamente 3. La probabilidad de un evento aleatorio es un número positivo entre cero y uno..En realidad, evento al azar solo algunos de ellos son favorables numero total resultados de pruebas elementales. En este caso 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 <Р (А) < 1

Entonces, la probabilidad de cualquier evento satisface la doble desigualdad.

El desarrollo y mejora del método axiomático se produjo en dos líneas principales: en primer lugar, la generalización del método en sí y, en segundo lugar, el desarrollo de técnicas lógicas utilizadas en el proceso de derivar teoremas a partir de axiomas. Para imaginar más claramente la naturaleza de los cambios que han tenido lugar, recurramos a la axiomática original de Euclides. Como es sabido, los conceptos y axiomas iniciales de la geometría se interpretan de una única manera. Por punto, línea y plano, como conceptos básicos de la geometría, se entienden objetos espaciales idealizados, y la geometría misma se considera el estudio de las propiedades del espacio físico. Poco a poco quedó claro que los axiomas de Euclides resultaban ser ciertos no sólo para describir las propiedades de los objetos geométricos, sino también de otros objetos matemáticos e incluso físicos. Entonces, si por punto nos referimos a un triple de números reales, y por línea recta y plano, las ecuaciones lineales correspondientes, entonces las propiedades de todos estos objetos no geométricos satisfarán los axiomas geométricos de Euclides. Aún más interesante es la interpretación de estos axiomas con la ayuda de objetos físicos, por ejemplo, los estados de un sistema mecánico y fisicoquímico o la variedad de sensaciones cromáticas. Todo esto indica que los axiomas de la geometría pueden interpretarse utilizando objetos de muy diferente naturaleza.

Este enfoque abstracto de la axiomática fue preparado en gran medida por el descubrimiento de geometrías no euclidianas por N. I. Lobachevsky, J. Bolyai, C. F. Gauss y B. Riemann. La expresión más consistente de la nueva visión de los axiomas como formas abstractas que permiten muchas interpretaciones diferentes se encontró en la famosa obra de D. Hilbert “Fundamentos de la geometría” (1899). “Pensamos”, escribió en este libro, “en tres sistemas diferentes de cosas: a las cosas del primer sistema las llamamos puntos y las denotamos A, B, C,...; Llamamos directas a las cosas del segundo sistema y las denotamos a, b, c,...; Llamamos planos a las cosas del tercer sistema y las designamos como a, B, y,...". De esto queda claro que por "punto", "recta" y "plano" podemos referirnos a cualquier sistema de objetos. Sólo es importante que sus propiedades estén descritas mediante los axiomas correspondientes. El siguiente paso en el camino hacia la abstracción del contenido de los axiomas está asociado con su representación simbólica en forma de fórmulas, así como con la especificación precisa de aquellas reglas de inferencia que describen cómo a partir de unas fórmulas (axiomas) otras fórmulas (teoremas) son obtenidas. Como resultado de esto, el razonamiento significativo con conceptos en esta etapa de la investigación se convierte en algunas operaciones con fórmulas de acuerdo con reglas preestablecidas. En otras palabras, el pensamiento significativo se refleja aquí en el cálculo. Los sistemas axiomáticos de este tipo suelen denominarse sistemas sintácticos formalizados o cálculos.

El uso limitado del método axiomático en las ciencias naturales se explica principalmente por el hecho de que sus teorías deben ser monitoreadas constantemente por la experiencia.

El análisis del surgimiento del conocimiento y el proceso de su formación requiere recurrir a la dialéctica materialista, como la doctrina más profunda y completa del desarrollo.