Радиус вписанной окружности треугольника определяется по формуле. Как найти радиус вписанной окружности

Окружность считается вписанной в границы правильного многоугольника, в случае, если лежит внутри него, касаясь при этом прямых, которые проходят через все стороны. Рассмотрим, как найти центр и радиус окружности. Центром окружности будет являться точка, в которой пересекаются биссектрисы углов многоугольника. Радиус рассчитывается: R=S/P; S – площадь многоугольника, Р – полупериметр окружности.

В треугольнике

В правильный треугольник вписывают лишь одну окружность, центр которой называется инцентром; он от всех сторон удалён на одинаковое расстояние и является местом пересечения биссектрис.

В четырёхугольнике

Часто приходится решать, как найти радиус вписанной окружности в эту геометрическую фигуру. Она должна быть выпуклой (если нет самопересечений). Окружность вписать в неё можно только в случае равенства сумм противоположных сторон: AB+CD=BC+AD.

При этом центр вписанной окружности, середины диагоналей, расположены на одной прямой (согласно теореме Ньютона). Отрезок, концы которого находятся там, где пересекаются противоположные стороны правильного четырёхугольника, лежит на этой же прямой, называемой прямой Гаусса. Центром окружности будет точка, в которой пересекаются высоты треугольника с вершинами, диагоналями (по теореме Брокара).

В ромбе

Им считается параллелограмм с одинаковой длиной сторон. Радиус окружности, вписываемой в него, можно рассчитать несколькими способами.

1. Чтобы сделать это правильно, найдите радиус вписанной окружности ромба, если известна площадь ромба, длина его стороны. Применяется формула r=S/(2Хa). К примеру, если площадь ромба составляет 200 мм кв., длина стороны 20 мм, то R=200/(2Х20), то есть, 5 мм.
2. Известен острый угол одной из вершин. Тогда необходимо использовать формулоу r=v(S*sin(α)/4). Например, при площади в 150 мм и известном угле в 25 градусов, R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0,423/4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 мм.
3. Все углы в ромбе равны. В этой ситуации радиус окружности, вписанной в ромб, будет равен половине длины одной стороны данной фигуры. Если рассуждать по Евклиду, утверждающего, что сумма углов всякого четырёхугольника равна 360 градусов, то один угол будет равен 90 градусам; т.е. получится квадрат.

Центр пересечения биссектрис треугольника является также и центром вписанной окружности.
Биссектрисы делят треугольник на три треугольника поменьше, суммарная площадь которых, соответственно, равна площади изначального треугольника.

Высоты этих треугольников одинаковы и равны радиусу вписанной окружности. Соответственно, для того чтобы узнать радиус вписанной окружности, нам нужно узнать высоту этих треугольников.

Высоту этих треугольников можно получить из формулы площади, которая выглядит как S=1/2*a*h, где a — основание треугольника, а h — высота, которая в нашем случае равна r — искомой величине.
Переделав формулу под свои задачи получаем r=h=2S/a, то есть площадь треугольника делённая на половину основания. Основание каждого из этих треугольников, соответственно, является одной из сторон основного треугольника. Имея заданными площадь треугольника и его стороны, а лучше сразу периметр, мы можем вычислить радиус вписанной окружности по уравнению Sabc=1/2r*(a+b+c), то есть радиус вписанной окружности равен площади основного треугольника, делённой на полупериметр, который обозначается как p.

Для получения радиуса вписанной окружности самым простым способом нам необходимо знать две величины — площадь данного треугольника и периметр. Если эти величины уже есть в задании, следует:

• Получить периметр путём сложения сторон.
• Разделить периметр на 2, чтобы получить полупериметр.
• Разделить площадь треугольника на полученное число.

В самом простом варианте формула выглядит как r=S/p.

[yt=Lhybr4Z8XoQ]