Курс лекций по дисциплине

«Матричный анализ»

для студентов II курса

математического факультета специальности

«Экономическая кибернетика»

(лектор Дмитрук Мария Александровна)

Глава 3. Функции от матриц.

1. Определение функции.

Df. Пусть – функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т.е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента.

Решение этой задачи известно, когда f(x) – многочлен: , тогда .

Определение f(A) в общем случае.

Пусть m(x) – минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение , , – собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения.

Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) – аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2).

Тогда , т.е. (3), , , .

Условимся m чисел для f(x) таких называть значениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать .

Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А.

Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.

Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3) Þ (3) Þ (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены g i (x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения g i (A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.

Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A). Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A)=g(A).

Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) – многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A),

Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при .

Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) – это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x).

Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А.

Замечание. Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е. , то значение функции на спектре .

Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица

. Построим f(H 1). Найдем минимальный многочлен H 1 – последний инвариантный множитель :

, d n-1 =x 2 ; d n-1 =1;

m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x n Þ 0 – n –кратный корень m(x), т.е. n-кратные собственные значения H 1 .

R(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0) Þ .

Тройка является решением игры <=>, когда является решением игры, где а – любое вещественное число, к>0 ГЛАВА 2. Игры с нулевой суммой в чистых стратегиях 2.1 Вычисление оптимальных стратегий на примере решения задач Используя теорему о минимаксе, можно утверждать, что каждая антагонистическая игра имеет оптимальные стратегии. Теорема: пусть А – матричная игра и строки данной...

Картину, не соответствующие ей, являются кандидатами на исключение из сферы деятельности корпорации. 5. Разработка корпоративной стратегии Предшествующий анализ подготовил почву для разработки стратегических шагов по улучшению деятельности диверсифицированной компании. Основное заключение о том, что делать, зависит от выводов, касающихся всего набора видов деятельности в хозяйственном...

Дает возможность определить оптимальную последовательность изучения учебных предметов, включенных в учебный план. Каждый предмет в учебном плане имеет собственный номер.

Пусть учебный план включает 19 предметов. Строим квадратную матрицу с основой, что равно числу предметов в учебном плане (19).

Методом экспертной оценки опытными преподавателями определяются наиболее существенные взаимосвязи между учебными предметами. Столбцы матрицы считаются потребителями, а строки - носителями информации. Например, для столбца 10 важными носителями информации являются строки 7, 9, 11, то есть знания по предметам с этими номерами. Эти строки в столбике отражены единицами (1), отсутствие наличного связи - нулями (0). В результате проведенного анализа была образована матрица девятнадцатого порядке.Анализ матрицы заключается в последовательном удалении столбцов и строк. До столбцов, заполненных нулями, не поступает информация из других предметов, т. е. изучение их не основывается на логической взаимосвязи с другими предметами, хотя они в свою очередь могут быть носителями первичной информации. Значит предметы, которые имеют номера этих столбцов, могут изучаться в первую очередь. Строки, заполненные нулями, не считаются носителями информации и не будут основой для изучения других предметов, а значит, могут изучаться последними.

Сначала вычеркиваются столбцы 7,8, 9,18 и соответствующие им строки. Получаем первую сокращенную матрицу пятнадцатого порядка, которая в свою очередь имеет нулевые столбцы 4, 16, 17. Избавившись от них, получаем вторую сокращенную матрицу. Проведя, таким образом, все последующие сокращения, получаем матрицу, в которой отсутствуют столбца без единиц, но имеются нулевые строки, которые также вычеркиваются вместе с соответствующими им столбцами. Последовательно выполнив подобные действия, приходим к матрице такого вида, как это показано на схеме.

Образована матрица соответствует графу, приведенному на рисунке 3.2. В этом графе три замкнутых двойных контуры(13-15), (5-6), (11-10). С некоторым приближением можно считать, что предметы, которые вошли в эти контуры, должны изучаться параллельно, причем сначала изучаются предметы с номерами 13 и 15, а уже потом предметы 5, 6, 10, 11.

в Результате проведенного матричного анализа становится возможным создать схематическую (блочную) модель изучение предметов в учебном плане:

Схема показывает комбинированную систему подключения учебных предметов. В ячейках содержатся номера предметов с параллельным изучением. Образованную систему подключения следует понимать не как обязательную последовательность подключения одной группы предметов только после окончания предыдущей, а лишь как необходимость опережения в их изучении. Она лишь указывает на общую тенденцию в подключении предметов.

Матричный анализ программы

Дает возможность оценить логическую последовательность расположения учебного материала внутри учебного предмета и соответствующим образом совершенствовать ее.

Пусть учебный предмет включает 6 тем. Матрица А! составлена по тематическому плану этого учебного предмета. Номера тем, что при составлении матрицы рассматриваются в плане их использования при изучении других тем, расположены по вертикали, номера, расположенные по горизонтали, соответствуют темам, рассмотренным в плане использования ими информации из других тем.

Для выявления замкнутых контуров, наличие которых свидетельствует о невозможности установления прохождения последовательности прохождения отдельных тем, проводим преобразования (укорачивания) матрицы Аи. Удаляем строку 5, состоящий из нулей, и столбец, соответствующий ему, а также нулевой столбец 3 с соответствующей строкой. Образуется матрица А2.

В матрице А2 недостающие строки и столбцы, состоящие из одних нулей. Для установления замкнутых контуров приводим соответствующий матрице А2 граф (см. рис. 3.3, а).

По изучению графа следует, что наличие замкнутых контуров вызвано взаимосвязью между содержанием учебного материала тем 1 и 6, а также тем 4 и 6. Причиной отмеченного взаимосвязи является неудачный перераспределение содержания учебного материала между указанными темами. Просмотрев содержание этих тем, становится возможным устранить имеющиеся замкнутые контуры графа. Таким образом образуется новый граф (рис. 3.3,б) и соответствующая ему матрица А3.

Сокращение этой матрицы дает новую матрицу А4.

После удаления дуг(6, 4), (6, 1) и (1, 6) получаем новую исходную матрицу В1, граф которой не имеет замкнутых контуров.

Теперь, когда замкнутые контуры разорваны, приступим к корректировке порядка расположения тем. Для этого последовательно будем удалять столбцы, состоящие из нулей, и одноименные с ними строки. При изучении тем, соответствующие таким столбцам, не используются сведения из других тем, и поэтому их можно изучать в первую очередь.

В матрице! нулевыми являются столбцы 1 и 3. Таким образом, тема 1 может занять свое место в тематическом плане. При изучении причин, требующих постановки темы 3 перед темой 2, выясняется, что некоторые сведения по теме 2 имеют место в теме 3. Однако их логичнее и полезнее оставить их в теме 3.

После перестановки учебного материала вместо дуги (3, 2) получаем дугу (2, 3); удалим столбец 1 - получаем матрицу В2.

Теме 2 присваиваем бывший номер 2. Удаляем столбец 2 строка 2. Получаем матрицу В3.

Темы 3 и 4 остаются с прежними номерами. Удаляем столбцы 3, 4 с соответствующими строками; получим матрицу В4

Теме 6 присваиваем номер 5, а теме 5 - номер 6.

Составляем матрицу С1 согласно нового распределения тем.

Проведем преобразования матрицы, последовательно удаляя нулевые строки и одноименные с ними столбцы. Соответствующие им темы перемещаем в конец ряда, потому что информацию этих тем не используют при изучении других тем. Теме 5 присваиваем номер 6.

Удаляем строку и столбец 6. Присваиваем теме 6 номер 5.

Удаляем строки 4 и 3 и темам, что им отвечают, присваиваем бывшие номера 4 и 3.

По темам 1 и 2 остаются прежние номера в тематическом плане. В результате проведенной матричной обработки получается следующее окончательное расположение тем в структуре учебного предмета:

Из приведенной последовательности видно, что после матричной обработки структуры тематического плана поменялись местами темы 5 и 6. Кроме того, возникла необходимость перемещения учебного материала по теме 5 в тему 1, а также из темы 2 в тему 3.

Как видно из приведенного примера, матричный анализ структуры учебного материала дает возможность в определенной степени упорядочить его и усовершенствовать взаимное расположение темам учебной программы.

Следует учитывать, что матричный анализ учебных планов и программ требует от исполнителей большого практического опыта и глубокого знания содержания обучения. В первую очередь это относится к составлению исходной матрицы, точнее, к определению связей между учебными предметами или учебными темами внутри предмета. Связей между такими крупными элементами, как темы программы, существует много, но исполнители матричного анализа должны уметь "читать между строк" (найти скрытые, но реально существующие связи), определить значимость различных связей в отношении целей матричного анализа, а иногда и критически относиться к содержанию темам учебных предметов.

Курс лекций по дисциплине

«Матричный анализ»

для студентов II курса

математического факультета специальности

«Экономическая кибернетика»

(лектор Дмитрук Мария Александровна)

1. Определение функции.

Df. Пусть

– функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т.е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента.

Решение этой задачи известно, когда f(x) – многочлен:

, тогда .

Определение f(A) в общем случае.

Пусть m(x) – минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение

, , – собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения.

Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) – аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2).

, т.е. (3), , , .

Условимся m чисел для f(x) таких

называть значениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать .

Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А.

Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.

Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3) Þ (3) Þ (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены g i (x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения g i (A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.

Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A). Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A)=g(A).

Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) – многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A),

Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при

.

Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) – это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x).

Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А.

Замечание. Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е.

, то значение функции на спектре .

Пример:

Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица

. Построим f(H 1). Найдем минимальный многочлен H 1 – последний инвариантный множитель :

, d n-1 =x 2 ; d n-1 =1;

m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x n Þ 0 – n –кратный корень m(x), т.е. n-кратные собственные значения H 1 .

, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0) Þ .

2. Свойства функций от матриц.

Свойство № 1. Если матрица

имеет собственные значения (среди них могут быть и кратные), а , то собственными значениями матрицы f(A) являются собственные значения многочлена f(x): .

Доказательство:

Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид:

, , . Посчитаем . Перейдем от равенства к определителям:

Сделаем замену в равенстве:

(*)

Равенство (*) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на

, получим: .

Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что

– собственные значения матрицы f(A).

ЧТД.

Свойство № 2. Пусть матрица

и – собственные значения матрицы А, f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f(A) равны .

Доказательство:

Т.к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что

, а тогда f(A)=r(A), а у матрицы r(A) собственными значениями по свойству № 1 будут которым соответственно равны .

метод научного исследования свойств объектов на основе использования правил теории матриц, по которым определяется значение элементов модели, отображающих взаимосвязи экономических объектов. Используется в тех случаях, когда главным объектом исследования являются балансовые соотношения затрат и результатов производственно-хозяйственной деятельности и нормативы затрат и выпусков.

• - pseudobridge, matrix bridge - “псевдомост”, .Aнафазный мост, образующийся в результате слипания хромосомного матрикса расходящихся к противоположным полюсам хромосом...

  Молекулярная биология и генетика. Толковый словарь

• - англ. matrix analysis; нем. Matrixanalyse. В социологии - метод исследования свойств соц. объектов на основе использования правил теории матриц...

  Энциклопедия социологии

• - в полиграфии - пресс для тиснения стереотипных матриц или неме-таллич. стереотипов, как правило, гидравлический...

  Большой энциклопедический политехнический словарь

• - Устройство, применяемое для прессования картонных или винипластовых матриц, а также пластмассовых стереотипов...

  Краткий толковый словарь по полиграфии

• - См.: точечно-матричное печатающее устройство...

  Словарь бизнес терминов

• - метод научного исследования свойств объектов на основе использования правил теории матриц, по которым определяется значение элементов модели, отображающих взаимосвязи экономических объектов...

  Большой экономический словарь

• - в экономике, метод научного исследования свойств объектов на основе использования правил теории матриц, по которым определяется значение элементов модели, отображающих взаимосвязи экономических объектов...

  Большая Советская энциклопедия

• - метод исследования взаимосвязей между экономическими объектами с помощью их матричного моделирования...

  Большой энциклопедический словарь

• - ...

  Орфографический словарь русского языка

• - МА́ТРИ-А, -ы, ж. ...

  Толковый словарь Ожегова

• - МА́ТРИЧНЫЙ, матричная, матричное. прил. к матрица. Матричный картон...

  Толковый словарь Ушакова

• - ма́тричный I прил. соотн. с сущ. матрица I, связанный с ним II прил. 1. соотн. с сущ. матрица II, связанный с ним 2. Обеспечивающий печать с помощью матрицы. III прил. соотн...

  Толковый словарь Ефремовой

• - м"...

  Русский орфографический словарь

• - ...

  Формы слова

• - прил., кол-во синонимов: 1 матрично-векторный...

  Словарь синонимов

• - прил., кол-во синонимов: 1 четырех...

  Словарь синонимов

"АНАЛИЗ, МАТРИЧНЫЙ" в книгах

Т.Н.Панченко. Стросон и Витгенштейн. Анализ как выявление формальной структуры неформального языка и анализ как терапия

Из книги Философские идеи Людвига Витгенштейна автора Грязнов Александр Феодосиевич

Т.Н.Панченко. Стросон и Витгенштейн. Анализ как выявление формальной структуры неформального языка и анализ как терапия *** Людвиг Витгенштейн и Питер Стросон некоторым образом определяют границы философии анализа, ее начало и конец. Один из них принадлежит к

§ 34. Принципиальное развитие феноменологического метода. Трансцендентальный анализ как анализ эйдетический

Из книги Картезианские размышления автора Гуссерль Эдмунд

§ 34. Принципиальное развитие феноменологического метода. Трансцендентальный анализ как анализ эйдетический В учении о Я, как полюсе своих актов и субстрате хабитуальностей, мы уже затронули, и притом в важном пункте, проблематику феноменологического генезиса и, таким

2.6. Биосинтез белка и нуклеиновых кислот. Матричный характер реакций биосинтеза. Генетическая информация в клетке. Гены, генетический код и его свойства

Из книги Биология [Полный справочник для подготовки к ЕГЭ] автора Лернер Георгий Исаакович

2.6. Биосинтез белка и нуклеиновых кислот. Матричный характер реакций биосинтеза. Генетическая информация в клетке. Гены, генетический код и его свойства Термины и понятия, проверяемые в экзаменационной работе: антикодон, биосинтез, ген, генетическая информация,

Матричный анализ

Из книги Большая Советская Энциклопедия (МА) автора БСЭ

2.4. АНАЛИЗ ТРЕБОВАНИЙ К СИСТЕМЕ (СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ) И ФОРМУЛИРОВКА ЦЕЛЕЙ

Из книги Технологии программирования автора Камаев В А

2.4. АНАЛИЗ ТРЕБОВАНИЙ К СИСТЕМЕ (СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ) И ФОРМУЛИРОВКА ЦЕЛЕЙ Задача оптимизации разработки программ состоит в достижении целей при минимально возможной затрате ресурсов.Системный анализ в отличие от предварительного системного исследования - это

Матричный замер

Из книги Цифровая фотография от А до Я автора Газаров Артур Юрьевич

Матричный замер Матричный замер (Matrix metering, Pattern Evaluative, E) также называют мультизонным, многозональным, многосегментным, оценочным. В автоматическом режиме камера устанавливает стандартный матричный экспозамер, используемый чаще других. Это самый интеллектуальный замер,

Вопрос 47. Анализ дела доверителя. Фактическая и правовая основа. Анализ доказательств.

Из книги Экзамен на адвоката автора

Вопрос 47. Анализ дела доверителя. Фактическая и правовая основа. Анализ доказательств. Честное, разумное и добросовестное оказание юридической помощи в любой форме, будь то консультирование, составление различных документов, представление интересов или защита в рамках

9. Наука на службе токсикологии. Спектральный анализ. Кристаллы и точки плавления. Структурный анализ рентгеном. Хроматография

Из книги Сто лет криминалистики автора Торвальд Юрген

9. Наука на службе токсикологии. Спектральный анализ. Кристаллы и точки плавления. Структурный анализ рентгеном. Хроматография Тем временем события, происшедшие на процессе против Буханана, стали известны во всем мире. При всем неуважении к американской науке тех лет эти

12.9. Матричный метод разработки решений

Из книги Системное решение проблем автора Лапыгин Юрий Николаевич

12.9. Матричный метод разработки решений Принятие решения на основе матричного метода сводится к осуществлению выбора с учетом интересов всех заинтересованных сторон. Схематично процесс решений при этом выглядит так, как это показано на рис. 12.7. Как мы видим, существует

4. Исследование и анализ рынка (анализ бизнес-среды организации)

Из книги Бизнес-планирование: конспект лекций автора Бекетова Ольга

4. Исследование и анализ рынка (анализ бизнес-среды организации) Исследование и анализ рынка сбыта – один из важнейших этапов подготовки бизнес-планов, который должен дать ответы на вопросы о том, кто, почему и в каких количествах покупает или будет покупать продукцию

5.1. Анализ внешней и внутренней среды организации, SWOT-анализ

автора Лапыгин Юрий Николаевич

5.1. Анализ внешней и внутренней среды организации, SWOT-анализ Внешняя среда и адаптация системыОрганизации, как и любые системы, изолированы от внешней среды и в то же время связаны с внешней средой таким образом, что из внешней среды они получают необходимые им ресурсы и

8.11. Матричный метод РУР

Из книги Управленческие решения автора Лапыгин Юрий Николаевич

8.11. Матричный метод РУР Принятие решения на основе матричного метода сводится к осуществлению выбора с учетом интересов всех заинтересованных сторон. Схематично процесс РУР при этом выглядит так, как это показано на рис. 8.13. Рис. 8.13. Модель РУР матричным методомНа

4. Анализ сильных и слабых сторон проекта, его перспектив и угроз (SWOT-анализ)

автора Филоненко Игорь

4. Анализ сильных и слабых сторон проекта, его перспектив и угроз (SWOT-анализ) При оценке целесообразности запуска нового проекта играет роль совокупность факторов, причем не всегда финансовый результат имеет первостепенное значение. Например, для выставочной компании

5. Политический, экономический, социальный и технологический анализ (PEST-анализ)

Из книги Выставочный менеджмент: стратегии управления и маркетинговые коммуникации автора Филоненко Игорь

5. Политический, экономический, социальный и технологический анализ (PEST-анализ) Чтобы убедиться, что из процесса планирования не выпали политические, социальные, экономические или технологические факторы, необходимо подвергнуть выставочный проект последнему испытанию,

11.3. Матричный метод разработки стратегий

Из книги Стратегический менеджмент: учебное пособие автора Лапыгин Юрий Николаевич

11.3. Матричный метод разработки стратегий Разработка видения организацииРазличные состояния внешней и внутренней среды организаций объясняют разнообразие самих организаций и их фактическое состояние.Многофакторность параметров, определяющих положение каждой

Второй подход к анализу сетей Петри основан на матричном представлении сетей Петри. Альтернативным по отношению к опре­делению сети Петри в виде (Р, Т, I, О) является определение двух матриц D - и D + , представляющих входную и выходную функции. Каждая матрица имеет m строк (по одной на пе­реход) и n столбцов (по одному на позицию). Определим D - = #(p i , I(t j)), a D + = #(p i , O(t j)). D - определяет входы в переходы, D + - выходы.

Матричная форма определения сети Петри (Р, Т, D - , D +) экви­валентна стандартной форме, используемой нами, но позволяет дать определения в терминах векторов и матриц. Пусть e[j] - m-вектор, содержащий нули везде, за исключением j-й компоненты, равной единице. Переход t j представляется m-вектором-строкой е[j].

Теперь переход t j в маркировке µ разрешен, если µ > e[j] D - , а результат запуска перехода t j в маркировке µ, записывается как:

δ(t j) = µ - e[j] D - + e[j] D + = µ + e[j] D

где D = D + - D - - составная матрица изменений.

Тогда для последовательности запуска переходов σ = t j 1 , t j 2 , … , t jk имеем:

δ(σ) = µ + e D + e D + … + e D =

= µ + (e + e + … + e)D = µ + f(σ) D

Вектор f(σ) = e + e + ... + e называется вектором за­пусков последовательности σ = t j 1 , t j 2 , … , t jk , f(σ) j p - это число запусков перехода t p в последовательности t j 1 , t j 2 , … , t jk . Вектор запусков f(σ), следовательно, является вектором с неотри­цательными целыми компонентами. (Вектор f(σ) - это отображение Париха последовательности σ = t j 1 , t j 2 , … , t jk).

Для того чтобы показать полезность такого матричного подхода к сетям Петри, рассмотрим, например, задачу сохранения: является ли данная маркированная сеть Петри сохраняющей? Для того чтобы показать сохранение, необходимо найти (ненулевой) вектор взвешивания, для которого взвешенная сумма по всем достижимым маркировкам постоянна.

Пусть w = (w 1 ,w 2 , … , w n) - вектор-столбец. Тог­да, если µ - начальная маркировка, а µ" - произвольная дости­жимая маркировка, т.е. µ" принадлежит R(C,µ), необходимо, чтобы µ w = µ" w. Теперь, поскольку µ" достижима, существует последовательность запусков переходов σ = t j 1 , t j 2 , … , t jk , которая переводит сеть из µ в µ". Поэтому

µ" = µ + f(σ) D

Следовательно,

µ w = µ" w = (µ + f(σ) D) w = µ w + f(σ) D w, поэтому f(σ) D w = 0.

Поскольку это должно быть верно для всех f(σ) , имеем D w = 0.

Таким образом, сеть Петри является сохраняющей тогда и только тогда, когда существует такой положительный вектор w, что D w = 0.

Это обеспечивает простой алгоритм проверки сохране­ния, а также позволяет получать вектор взвешивания w.

Развитая матричная теория сетей Петри является инструментом для решения проблемы достижимости. Предположим, что марки­ровка µ" достижима из маркировки µ. Тогда существует последо­вательность (возможно, пустая) запусков переходов σ, которая приводит из µ к µ". Это означает, что f(σ) является неотрицатель­ным целым решением следующего матричного уравнения для х:

µ" = µ + x D

Следовательно, если µ" достижима из µ, тогда данное уравнение имеет решение в неотрицательных целых; если данное уравнение не имеет решения, тогда µ" недостижима из µ.

Рассмотрим, например, маркированную сеть Петри, изображенную на рис.1:

Рис. 1. Сеть Петри, иллюстрирующая метод анализа, основанный на мат­ричных уравнениях

Матрицы D - и D + имеют вид:

t 1 t 2 t 3 t 1 t 2 t 3

p 1 1 0 0 p 1 1 0 0

D - = p 2 1 0 0 D + = p 2 0 2 0

p 3 1 0 1 p 3 0 1 0

p 4 0 1 0 p 4 0 0 1

а матрица D:

В начальной маркировке µ = (1, 0, 1, 0) переход t 3 разрешен и приводит к маркировке µ" = (1, 0, 0,1).

µ" = µ + e D = (1, 0, 1, 0) + (0, 0, 1) D =

= (1, 0, 1, 0) + (0, 0, -1, 1) = (1, 0, 0, 1).

Последовательность σ = t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 1 представляется вектором запусков f(σ) = (1, 2, 2) и получает маркировку µ":

µ" = (1, 0, 1, 0) + (1, 2, 2) D = (1, 0, 1, 0) + (0, 3, -1, 0) = (1, 3, 0, 0)

Для определения того, является ли маркировка (1, 8, 0, 1) достижимой из маркировки (1,0, 1, 0), имеем уравнение:

(1, 8, 0, 1) = (1, 0, 1,0)+ x D

которое имеет решение х = (0, 4, 5). Это соответствует последова­тельности σ = t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3

(1, 7,0, 1)=(1, 0, 1, 0) + x D

не имеет решения.

Матричный подход к анализу сетей Петри очень перспективен, но имеет и некоторые трудности. Заметим прежде всего, что мат­рица D сама по себе не полностью отражает структуру сети Петри. Переходы, имеющие как входы, так и выходы из одной позиции (петли), представляются соответствующими элементами матриц D + и D - , но затем взаимно уничтожаются в матрице D = D + - D - . Это отражено в предыдущем примере позицией p 4 , и переходом t 3 .

Другая проблема - это отсутствие информации о последова­тельности в векторе запуска. Рассмотрим сеть Петри на рис. 2. Предположим, мы хотим определить, является ли маркировка (0, 0, 0, 0, 1) достижимой из (1, 0, 0, 0, 0). Тогда имеем уравнение

(1, 0, 0, 0, 0)=(0, 0, 0, 0, 1) + x D

Рис. 2. Другая сеть Петри, служащая для иллюстрации матричного ана­лиза

Это уравнение не имеет однозначного решения, но сводится к мно­жеству решений {a\f(o) = (1, х 2 , х 6 - 1, 2х 6 , х е - 1, х 6)}. Оно определяет взаимосвязь между запусками переходов. Если поло­жим х 6 = 1 и х 2 = 1, то /(о) = (1, 1, 0, 2, 0, 1), но этому вектору запуска соответствуют как последовательность 44444. так и п0- следовательность 44444- Следовательно, хотя и известно число запусков переходов, порядок их запуска неизвестен.

Еще одна трудность заключается в том, что решение уравнения является необходимым для достижимости, но недостаточным. Рассмотрим простую сеть Петри, приведенную на рис. 3. Если мы хотим определить, является ли (0, 0, 0, 1) достижимым из (1, 0, 0, 0), необходимо решить уравнение

Рис. 3. Сеть Петри, показывающая, что решение матричного уравнения- необходимое, но недостаточное условие для решения задачи достижимости

Это уравнение имеет решение /(а) = (1, 1), соответствующее двум последовательностям: tit 2 и / 3 / t . Но ни одна из этих двух последо­вательностей переходов невозможна, поскольку в (1,0, 0, 0) ни t it ни 4 не разрешены. Таким образом, решения уравнения не­достаточно для доказательства достижимости.

Контрольные вопросы и задания

1. Постройте граф сети Петри для следующей сети Петри:

P={p 1 ,p 2 ,p 3 ,p 4 }, T={t 1 ,t 2 ,t 3 ,t 4 ,t 5 },

I(t 1)={}, O(t 1)={p 1 },

I(t 2)={p 1 }, O(t 2)={p 2 },

I(t 3)={p 2 ,p 2 ,p 4 }, O(t 3)={p 1 ,p 3 },

I(t 4)={}, O(t 4)={p 3 },

I(t 5)={p 3 }, O(t 5)={p 4 ,p 4 }.

2. Постройте граф сети Петри для следующей сети Петри:

P={p 1 ,p 2 ,p 3 ,p 4 }, T={t 1 ,t 2 ,t 3 ,t 4 },

I(t 1)={}, O(t 1)={p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 2 },

I(t 2)={p 2 }, O(t 2)={ p 1 ,p 1 p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 3 },

I(t 3)={p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 1 }, O(t 3)={ p 2 ,p 2 p 2 ,p 2 p 4 ,p 4 },

I(t 4)={ p 2 ,p 3 p 4 ,p 4 }, O(t 4)={p 3 }.

3. Для сети Петри из упр.1 для маркировки m=(5,4,0,0) указать разрешенные переходы.

4. Для сети Петри из упр.2 для маркировки m=(7,12,2,1) указать разрешенные переходы.

5. Покажите, что ÈR(C,m)=N n , где mÎN n .

6. Докажите, что если m‘Î R(C,m), то R(C,m‘)Í R(C,m).

7. Докажите, что m‘Î R(C,m) тогда и только тогда, когда R(C,m‘)Í R(C,m).

8. Постройте множество достижимости для сети Петри из упр.1.

9. Постройте множество достижимости для сети Петри из упр.2.

10. Сети Петри со своими фишками и правилами запусков во многом напоминают игры, имеющие игровое поле: шашки, нарды, ним, го и др. Можно придумать игру для одного - четырех человек, состоящую из игрового поля (в качестве поля используется сеть Петри) и набора фишек. Фишки распределены по позициям сети Петри, и игроки по очереди выбирают разрешенные переходы и запускают их. Определите правила игры, предусматривающие следующее:

a Как определено начальное расположение фишек? (Например, каждый игрок начинает игру, имея одну фишку в домике или каждый игрок получает n фишек на всем поле по желанию и т.д.).

b Какова цель игры? (Захватить фишки своего противника; получить наибольшее количество фишек; как можно скорее избавиться от своих фишек и т.д.).

c Не нужно ли раскрасить фишки для разных игроков? (В соответствии с этим определите правила запуска переходов).

d Не стоит ли присвоить очки различным переходам? (Тогда очки игрока определяются суммой переходов, запущенных им).

На основе этого опишите игру, приведите пример игры.

11. Разработайте программу, которая реализует игру из упр.10, где в качестве вашего противника выступает компьютер для заданной сети Петри.

12. Постройте систему моделирования для выполнения сети Петри. Запуск разрешенных переходов задается пользователем системы моделирования.

13.Мудрецы сидят за большим круглым столом, на котором много блюд китайской кухни. Между соседями лежит одна палочка для еды. Однако для приема китайской пищи необходимы две палочки, следовательно, каждый мудрец должен взять палочки справа и слева. Проблема заключается в том, что если все мудрецы возьмут палочки слева и затем будут ждать, когда освободятся палочки с правой стороны, то они будут ждать вечно и умрут от голода (состояние тупика). Необходимо построить такую сеть Петри, которая задает стратегию проведения обеда и не имеет тупиков.

14.Построить сеть Петри, представляющую конечный автомат, вычисляющий дополнение до двух двоичного числа.

15.Построить сеть Петри, представляющую конечный автомат для определения четности входного двоичного числа.

16.Построить сеть Петри, представляющую конечный автомат, который определяет триггер со счетным входом.

17.Построить сеть Петри, представляющую конечный автомат, который определяет триггер с раздельными входами.

18.Разработать алгоритм моделирования блок-схем сетью Петри.

19.PERT-диаграмма является графическим представлением взаимосвязей между различными этапами, составляющими проект. Проект представляет собой совокупность большого числа работ, при этом работы должны завершиться прежде, чем начнут выполняться другие. Кроме того, на выполнение каждой работы требуется определенное количество времени. Работы графически представляются вершинами, а дуги используются для отображения причинно-следственных связей между ними. PETR - диаграмма есть направленный граф со взвешенными дугами. Задача состоит в том, чтобы определить минимальное время выполнения проекта. Разработать алгоритм моделирования PERT-диаграмм с помощью сетей Петри.

20.Разработайте модель, основанную на сетях Петри, для моделирования химических реакций.

21.Рассмотрите построение не дерева, а графа достижимости. Если вершина x порождает последующую вершину z с m[z]=m[y] для некоторой неграничной вершины y, вводится помеченная соответствующим образом дуга от x к y. Опишите алгоритм построения графа достижимости.

22.Покажите, что алгоритм построения графа достижимости сходится, и исследуйте его свойства, сравнивая его с алгоритмом построения дерева достижимости.

23.Дерево достижимости нельзя использовать для решения проблемы достижимости, т.к. теряется информация в связи с введением понятия символа w. Он вводится, когда приходим к маркировке m‘ и на пути от корня к m‘ имеется такая маркировка m, что m‘>m. В этом случае можно получить все маркировки вида m+n(m‘-m). Исследуйте возможность использования выражения a+bn i вместо w, для того чтобы представить значения компонент. Если вы сможете определить дерево достижимости, в котором все векторы маркировок представляются выражениями, тогда решение задачи достижимости определяется просто решением системы уравнений.

24.Обобщите определение сохранения, разрешая отрицательные веса.Что можно было бы считать разумной интерпретацией отрицательного веса? Является ли разрешимой задача определения сохранения сети Петри, если разрешены отрицательные веса?

25.Разработайте с помощью матричного подхода к анализу алгоритм определения ограниченности сети Петри.

26.Разработайте алгоритм решения задачи равенства двух сетей Петри. Сеть Петри C 1 =(P 1 ,T 1 ,I 1 ,O 1) с маркировкой m 1 равна сети Петри C 2 =(P 2 ,T 2 ,I 2 ,O 2) с маркировкой m 2 , если R(C 1 ,m 1)= R(C 2 ,m 2).

27.Разработайте алгоритм решения задачи подмножества двух сетей Петри. Сеть Петри C 1 =(P 2 ,T 2 ,I 2 ,O 2) с маркировкой m 2 есть подмножество сети Петри C 1 =(P 1 ,T 1 ,I 1 ,O 1) с маркировкой m 1 , если R(C 1 ,m 1)Í R(C 2 ,m 2).

28.Разработайте алгоритм решения задачи достижимости. В сети Петри C=(P,T,I,O) с маркировкой m маркировка m‘ достижима из m, если m‘ÎR(C,m).

29.Разработайте алгоритм задачи достижимости подмаркировки. Для подмножества P’ Í P и маркировки m‘ существует ли m‘’ÎR(C,m), такая, что m‘’(p i)=m‘(p i) для всех p i ÎP’?.

30.Разработайте алгоритм задачи достижимости нуля. Выполняется ли m‘ÎR(C,m), где m‘(p i)=0 для всех p i ÎP?

31.Разработайте алгоритм задачи достижимости нуля в одной позиции. Для данной позиции p i ÎP существует ли m‘ÎR(C,m) с m‘(p i)=0?

32.Разработайте алгоритм решения задачи активности сети Петри. Активны ли все переходы t j ÎT?

33.Разработайте алгоритм решения задачи активности одного перехода. Активен ли данный переход t j ÎT?

34.Сеть Петри называется обратимой, если для каждого перехода t j ÎT найдется переход t k ÎT, такой, что

#(p i ,I(t j))=#(p i ,O(t k)), #(p i ,O(t j))=#(p i ,I(t k)),

т.е. для каждого перехода существует другой переход с обратными входами и выходами. Разработайте алгоритм решения задачи достижимости для обратимых сетей Петри.

35. Разработайте алгоритм решения задачи равенства для обратимых сетей Петри.

36.Задача о курильщиках. Каждый из трех курильщиков непрерывно изготавливает сигарету и курит ее. Чтобы сделать сигарету, необходимы табак, бумага и спички. Один из курильщиков всегда имеет бумагу, другой - спички, третий - табак. Агент обладает бесконечными запасами бумаги, спичек и табака. Агент кладет две составные части на стол. Курильщик, имеющий третий недостающий ингредиент, может сделать и закурить сигарету, сигнализируя об этом агенту. Тогда агент помещает другие два из трех ингредиентов, и цикл повторяется. Предложите активную сеть Петри, которая моделирует задачу о курильщиках.

37. Автоматная сеть Петри - это сеть Петри, в которой каждый переход может иметь точно один выход и один вход,т.е. для всех t j ÎT ½I(t j)½=1 и ½O(t j)½=1. Разработайте алгоритм построения конечного автомата, который эквивалентен заданной автоматной сети Петри.

38. Маркированный граф есть сеть Петри, в которой каждая позиция является входом для точно одного перехода и выходом точно одного перехода,т.е. для каждого перехода p i ÎP ½I(p i)½=1 и ½O(p i)½=1. Разработайте алгоритм решения задачи достижимости для маркированных графов.

39.Рассмотрите класс сетей Петри, которые являются и маркированными графами, и автоматными сетями Петри.

40.Постройте сеть Петри, моделирующую системы, описанные в приложении 8. Опишите события, происходящие в системе, и условия, которые описывают систему. Постройте дерево достижимости построенной сети Петри. Опишите состояния, в которых может находиться система.