Как вычислить площадь многоугольника формула. Как найти площадь многоугольника
Все, что имеет больше двух углов, является многоугольником, в том числе и треугольник. Рассмотрим, как найти площадь многоугольников.
Как найти площадь многоугольника — треугольник
- S = 1/2×h×b, где h — высота, а b — сторона.
- S = 1/2 a×b×sinα, где а и b — стороны треугольника, а sinα — синус угла между ними.
- S = √p×(p-a)×(p-b)×(p-c), где p — половина периметра, а, b, c — стороны. Если известны все стороны треугольника, то найти площадь можно именно по этой формуле.
- S = r×p, где r — радиус вписанной окружности, а p — половина периметра. Если в треугольник вписана окружность, то для нахождения площади можно использовать эту формулу.
- S = abc/4R, где a, b, c — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности. Если треугольник вписан в окружность, для нахождения площади треугольника можно использовать эту формулу.
Прямоугольный треугольник
- S = 1/2×ab, где a и b — катеты прямоугольного треугольника.
- S = d×e, где d и e отрезки гипотенузы, образованные при касании вписанной окружности об гипотенузу.
- S = (p-a)×(p-b), где p — половина периметра, а и b — катеты.
Равнобедренный треугольник
- S = 1/2×a²×sina, где а — бедро треугольника, sina же — угол между бедрами.
- S = b²/4tgα/2, где b — основание треугольника, а tgα — угол между бедрами.
Равносторонний треугольник
- S = √3×a²/4, где а — сторона треугольника (любая, так как в равностороннем треугольнике все стороны равны).
- S = 3√3×R²/4, где R — радиус окружности, в которую вписан треугольник.
- S = 3√3×r², где r — радиус окружности, которая вписана в треугольник.
- S = h²/√3, где h — высота равностороннего треугольника.
Как найти площадь многоугольника — квадрат
- S = a², а — сторона квадрата. Так как все стороны квадрата равны, достаточно умножить одну его сторону на другую.
- S = d²/2, где d — диагональ квадрата.
Как найти площадь многоугольника — прямоугольник
- S = a×b, где a и b — стороны прямоугольника. Так как противолежащие стороны в прямоугольнике равны, достаточно умножить одну его сторону (длину) на не противолежащую, перпендикулярную сторону (ширину).
- S = a²+b²=c², где a — ширина, b — длина, а c — диагональ. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника и если в условии задачи дана одна сторона прямоугольника и его диагональ, несложно будет найти и третью сторону, использую теорему Пифагора. После того как мы найдем эту сторону, ищем площадь по стандартной формуле a×b. Пример: Ширина прямоугольника — 3см, диагональ — 5 см. Найти площадь. Пишем 3² + x² = 5². x² = 16 => x = 4. S = a×b = 3×4=12. Ответ: S прямоугольника = 12см²
Как найти площадь многоугольника — трапеция
- S = (a+b)×h/2, где a — маленькое, b — большое основание трапеции, h — высота.
- S = h×m, где h — высота, m — средняя линия трапеции, равная половине суммы оснований — 1/2×(a+b).
- S = 1/2×d1×d2×sinα, где d1 и d2 — диагонали трапеции, а sinα — синус угла между ними.
- S = a+b/2×√c²-((b-a)²+c²-d²/2(b-a))², где a и b — основания трапеции, c и d — остальные две стороны.
Равнобедренная трапеция
S = 4r²/sinα, где r — радиус вписанной окружности, а sinα — синус угла между стороной и основанием.
Площадь правильного многоугольника
- S = r×p = 1/2×r×n×a, где r — радиус вписанной окружности, p — половина периметра. Для того чтобы найти площадь любого правильного многоугольника, нужно разбить его на равные треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности.
- S = n×a²/4tg(360°/2n), где n — число сторон правильного многоугольника, а — длина стороны.
Также вычислить площадь правильного многоугольника поможет данный онлайн сервис . Просто вставьте нужное значение и получите ответ.
Площадь неправильного многоугольника
Площадь неправильного многоугольника можно найти с помощью координат его вершин. Если в условии задачи даны вышеупомянутые координаты, то выполняем следующее:
- Составляем таблицу указывая букву, обозначающую вершину и соответствующие координаты (x; y).
- Умножаем значение x одной вершины на значение y второй и так далее.
- Складываем все значение, получаем какое-то число.
- Составляем точно такую таблицу, по такому же принципу умножаем y координату одной вершины на x координату второй, складываем получившиеся значения.
- От суммы значений первой таблицы отнимаем сумму значений второй таблицы.
- Полученное число делим на 2 и тем самым находим площадь неправильного многоугольника.
Как найти площадь многоугольника?
Многоугольник – это плоская или выпуклая фигура, которая состоит из пересеченных прямых (больше 3-х) и образует большое количество точек пересечения линий. Еще многоугольник можно определить как ломаную линию, которая замыкается. По-другому точки пересечения можно назвать вершинами фигуры. В зависимости от количества вершин фигура может называться пятиугольником, шестиугольником и так далее. Угол многоугольника – это угол, который образовывается сторонами, сходящимися в одной вершине. Угол находится внутри многоугольника. Причем углы могут быть разными, вплоть до 180 градусов. Есть также и внешние углы, которые обычно являются смежными внутренним.
Прямые линии, которые впоследствии пересекаются, называются сторонами многоугольника. Они могут быть соседними, смежными и не смежными. Очень важной характеристикой представленной геометрической фигуры является то, что несмежные ее стороны не пересекаются, а значит, не имеют общих точек. Смежные стороны фигуры не могут находиться на одной прямой.
Те вершины фигуры, которые принадлежат одной и той же прямой, можно назвать соседними. Если провести линию между двумя вершинами, не являющимися соседними, то получится диагональ многоугольника. Что касается площади фигуры, - это внутренняя часть плоскости геометрической фигуры с большим количеством вершин, которая создается разделяющими ее отрезками многоугольника.
Как найти площадь многоугольника?
Какого-либо одного решения для определения площади представленной геометрической фигуры нет, так как вариантов фигуры может быть бесконечное множество и для каждого варианта существует свое решение. Однако некоторые самые частые варианты нахождения площади фигуры все же нужно рассмотреть (они чаще всего используются на практике и включены даже в школьную программу).
Прежде всего, рассмотрим правильный многоугольник, то есть такую фигуру, в которой все углы, образованные равными сторонами, являются также равными. Итак, как найти площадь многоугольника в конкретном примере? Для этого случая нахождение площади многоугольной фигуры возможно, если дан радиус окружности, вписанной в фигуру или описанной вокруг нее. Для этого можно воспользоваться следующей формулой:
S = ½∙P∙r, где r – радиус окружности (вписанной или описанной), а P – является периметром геометрической многоугольной фигуры, которую можно узнать, умножив количество сторон фигуры на их длину.
Как находить площадь многоугольника
Чтобы ответить на вопрос, как находить площадь многоугольника, достаточно следовать следующему интересному свойству многоугольной фигуры, в свое время нашел известный австрийский математик – Георг Пик. Например, по формуле S = N + M/2 -1 можно найти площадь такого многоугольника, вершины которого размещены в узлах квадратной сетки. При этом S – это, соответственно, площадь; N – количество узлов квадратной сетки, которые разместились внутри фигуры с множеством углов; M – количество тех узлов квадратной сетки, которые разместились на вершинах и сторонах многоугольника. Однако, несмотря на свою красоту, формула Пика практически не применяется в практической геометрии. Как найти площадь многоугольника? Самым простым и известным методом определения площади, который изучают в школе, является разделение многоугольной геометрической фигуры на более простые части (трапеции, прямоугольники, треугольники). Найти площадь этих фигур не трудно. В этом случае площадь многоугольника определяется просто: нужно найти площади всех тех фигур, на которые разделен многоугольник. В основном определение площади многоугольника определяется в механике (размеры деталей).Каждый, кто изучал в школе математику и геометрию, хотя бы поверхностно знает эти науки. Но со временем, если в них не практиковаться, познания забываются. Многие даже считают, что только зря потратили своё время, изучая геометрические расчёты. Однако они ошибаются. Технические работники выполняют повседневную работу, связанную с геометрическими расчётами. Что касается расчета площади многоугольника, то и эти знания находят своё применение в жизни. Понадобятся они хотя бы для того, чтобы рассчитать площадь земельного участка. Итак, давайте узнаем, как найти площадь многоугольника.
Определение многоугольника
Сначала определимся с тем, что такое многоугольник. Это плоская геометрическая фигура, которая образовалась в результате пересечения трех или более прямых. Другое простое определение: многоугольник — это замкнутая ломаная. Естественно, при пересечении прямых образуются точки пересечения, их количество равно количеству прямых, образовывающих многоугольник. Точки пересечения называют вершинами, а отрезки, образованные от прямых, - сторонами многоугольника. Смежные отрезки многоугольника находятся не на одной прямой. Отрезки, являющиеся несмежными, - это те, которые не проходят через общие точки.
Сумма площадей треугольников
Как находить площадь многоугольника? Площадь многоугольника - это внутренняя часть плоскости, которая образовалась при пересечении отрезков или сторон многоугольника. Поскольку многоугольник - это сочетание таких фигур, как треугольник, ромб, квадрат, трапеция, то универсальной формулы для вычисления его площади просто нет. На практике наиболее универсальным является метод разбиения многоугольника на более простые фигуры, нахождение площади которых не вызывают затруднений. Сложив суммы площадей этих простых фигур, получают площадь многоугольника.
Через площадь окружности
В большинстве случаев многоугольник имеет правильную форму и образует фигуру с равными сторонами и углами между ними. Рассчитать площадь в этом случае очень просто при помощи вписанной или описанной окружности. Если известна площадь окружности, то её необходимо умножить на периметр многоугольника, а затем полученное произведение поделить на 2. В итоге получается формула расчёта площади такого многоугольника: S = ½∙P∙r., где P — площадь окружности, а r — периметр многоугольника.
Метод разбиения многоугольника на «удобные» фигуры - самый популярный в геометрии, он позволяет быстро и правильно найти площадь многоугольника. 4 класс средней школы обычно изучает такие методы.
\[{\Large{\text{Основные факты о площади}}}\]
Можно сказать, что площадь многоугольника - это величина, обозначающая часть плоскости, которую занимает данный многоугольник. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной \(1\) см, \(1\) мм и т.д. (единичный квадрат). Тогда площадь будет измеряться в см\(^2\) , мм\(^2\) соответственно.
Иными словами, можно сказать, что площадь фигуры - это величина, численное значение которой показывает, сколько раз единичный квадрат умещается в данной фигуре.
Свойства площади
1. Площадь любого многоугольника - величина положительная.
2. Равные многоугольники имеют равные площади.
3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
4. Площадь квадрата со стороной \(a\) равна \(a^2\) .
\[{\Large{\text{Площадь прямоугольника и параллелограмма}}}\]
Теорема: площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\) равна \(S=ab\) .
Доказательство
Достроим прямоугольник \(ABCD\) до квадрата со стороной \(a+b\) , как показано на рисунке:
Данный квадрат состоит из прямоугольника \(ABCD\) , еще одного равного ему прямоугольника и двух квадратов со сторонами \(a\) и \(b\) . Таким образом,
\(\begin{multline*} S_{a+b}=2S_{\text{пр-к}}+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_{\text{пр-к}}+a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_{\text{пр-к}}+a^2+b^2 \Rightarrow S_{\text{пр-к}}=ab \end{multline*}\)
Определение
Высота параллелограмма - это перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к стороне (или к продолжению стороны), не содержащей эту вершину.
Например, высота \(BK\)
падает на сторону \(AD\)
, а высота \(BH\)
- на продолжение стороны \(CD\)
:
Теорема: площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.
Доказательство
Проведем перпендикуляры \(AB"\) и \(DC"\) , как показано на рисунке. Заметим,что эти перпендикуляры равны высоте параллелограмма \(ABCD\) .
Тогда \(AB"C"D\) – прямоугольник, следовательно, \(S_{AB"C"D}=AB"\cdot AD\) .
Заметим, что прямоугольные треугольники \(ABB"\) и \(DCC"\) равны. Таким образом,
\(S_{ABCD}=S_{ABC"D}+S_{DCC"}=S_{ABC"D}+S_{ABB"}=S_{AB"C"D}=AB"\cdot AD.\)
\[{\Large{\text{Площадь треугольника}}}\]
Определение
Будем называть сторону, к которой в треугольнике проведена высота, основанием треугольника.
Теорема
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.
Доказательство
Пусть \(S\) – площадь треугольника \(ABC\) . Примем сторону \(AB\) за основание треугольника и проведём высоту \(CH\) . Докажем, что \ Достроим треугольник \(ABC\) до параллелограмма \(ABDC\) так, как показано на рисунке:
Треугольники \(ABC\) и \(DCB\) равны по трем сторонам (\(BC\) – их общая сторона, \(AB = CD\) и \(AC = BD\) как противоположные стороны параллелограмма \(ABDC\) ), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь \(S\) треугольника \(ABC\) равна половине площади параллелограмма \(ABDC\) , то есть \(S = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH\) .
Теорема
Если два треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Следствие
Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади.
Теорема
Если два треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_2B_2C_2\) имеют по равному углу, то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.
Доказательство
Пусть \(\angle A=\angle A_2\) . Совместим эти углы так, как показано на рисунке (точка \(A\) совместилась с точкой \(A_2\) ):
Проведем высоты \(BH\) и \(C_2K\) .
Треугольники \(AB_2C_2\) и \(ABC_2\) имеют одинаковую высоту \(C_2K\) , следовательно: \[\dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC_2}}=\dfrac{AB_2}{AB}\]
Треугольники \(ABC_2\) и \(ABC\) имеют одинаковую высоту \(BH\) , следовательно: \[\dfrac{S_{ABC_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{AC_2}{AC}\]
Перемножая последние два равенства, получим: \[\dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{AB_2\cdot AC_2}{AB\cdot AC} \qquad \text{ или } \qquad \dfrac{S_{A_2B_2C_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{A_2B_2\cdot A_2C_2}{AB\cdot AC}\]
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
Верно и обратное: если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других двух сторон, то такой треугольник прямоугольный.
Теорема
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Теорема: формула Герона
Пусть \(p\) – полупериметр треугольника, \(a\) , \(b\) , \(c\) – длины его сторон, тогда его площадь равна \
\[{\Large{\text{Площадь ромба и трапеции}}}\]
Замечание
Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула, т.е. площадь ромба равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.
Теорема
Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей.
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\) . Обозначим \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :
Заметим, что данный четырехугольник составлен из четырех прямоугольных треугольников, следовательно, его площадь равна сумме площадей этих треугольников:
\(\begin{multline*} S_{ABCD}=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b)y)=\frac12(a+b)(x+y)\end{multline*}\)
Следствие: площадь ромба
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \
Определение
Высота трапеции – это перпендикуляр, проведенный из вершины одного основания к другому основанию.
Теорема: площадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Доказательство
Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) . Проведем \(CD"\parallel AB\) , как показано на рисунке:
Тогда \(ABCD"\) – параллелограмм.
Проведем также \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) – высоты трапеции).
Тогда \(S_{ABCD"}=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_{CDD"}=\dfrac12CH\cdot D"D\)
Т.к. трапеция состоит из параллелограмма \(ABCD"\) и треугольника \(CDD"\) , то ее площадь равна сумме площадей параллелограмма и треугольника, то есть:
\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]
В задачах по геометрии часто требуется вычислить площадь многоугольника. Причем он может иметь довольно разнообразную форму - от всем знакомого треугольника до некоторого n-угольника с каким-то невообразимым числом вершин. К тому же эти многоугольники бывают выпуклыми или вогнутыми. В каждой конкретной ситуации полагается отталкиваться от внешнего вида фигуры. Так получится выбрать оптимальный путь решения задачи. Фигура может оказаться правильной, что существенно упростит решение задачи.
Немного теории о многоугольниках
Если провести три или более пересекающихся прямых, то они образуют некоторую фигуру. Именно она является многоугольником. По количеству точек пересечения становится ясно, сколько вершин у него будет. Они дают название получившейся фигуре. Это может быть:
Такая фигура непременно будет характеризоваться двумя положениями:
- Смежные стороны не принадлежат одной прямой.
- У несмежных отсутствуют общие точки, то есть они не пересекаются.
Чтобы понять, какие вершины являются соседними, потребуется посмотреть, принадлежат ли они одной стороне. Если да, то соседние. В противном случае их можно будет соединить отрезком, который необходимо назвать диагональю. Их можно провести только в многоугольниках, у которых больше трех вершин.
Какие их виды существуют?
Многоугольник, у которого больше четырех углов, может быть выпуклым или вогнутым. Отличие последнего в том, что некоторые его вершины могут лежать по разные стороны от прямой, проведенной через произвольную сторону многоугольника. В выпуклом всегда все вершины лежат с одной стороны от такой прямой.
В школьном курсе геометрии большая часть времени уделяется именно выпуклым фигурам. Поэтому в задачах требуется узнать площадь выпуклого многоугольника. Тогда существует формула через радиус описанной окружности, которая позволяет найти искомую величину для любой фигуры. В других случаях однозначного решения не существует. Для треугольника формула одна, а для квадрата или трапеции совершенно другие. В ситуациях, когда фигура неправильная или вершин очень много, принято разделять их на простые и знакомые.
Как поступить, если фигура имеет три или четыре вершины?
В первом случае он окажется треугольником, и можно воспользоваться одной из формул:
- S = 1/2 * а * н, где а — сторона, н — высота к ней;
- S = 1/2 * а * в * sin (А), где а, в — сторон\ы треугольника, А — угол между известными сторонами;
- S = √(p * (p - а) * (p - в) * (p - с)), где с — сторона треугольника, к уже обозначенным двум, р — полупериметр, то есть сумма всех трех сторон, разделенная на два.
Фигура с четырьмя вершинами может оказаться параллелограммом:
- S = а * н;
- S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), где d 1 и d 2 — диагонали, α — угол между ними;
- S = a * в * sin(α).
Формула для площади трапеции: S = н * (a + в) / 2, где а и в — длины оснований.
Как поступить с правильным многоугольником, у которого больше четырех вершин?
Для начала такая фигура характеризуется тем, что в ней все стороны равны. Плюс к этому, у многоугольника одинаковые углы.
Если вокруг такой фигуры описать окружность, то ее радиус совпадет с отрезком от центра многоугольника до одной из вершин. Поэтому для того чтобы вычислить площадь правильного многоугольника с произвольным числом вершин, потребуется такая формула:
S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), где n — количество вершин многоугольника.
Из нее легко получить такую, которая пригодится для частных случаев:
- треугольника: S = (3√3)/4 * R 2 ;
- квадрата: S = 2 * R 2 ;
- шестиугольника: S = (3√3)/2 * R 2 .
Ситуация с неправильной фигурой
Выходом для того, как узнать площадь многоугольника, если он не является правильным и его нельзя отнести ни к одной из известных ранее фигур, является алгоритм:
- разбить его на простые фигуры, например, треугольники, чтобы они не пересекались;
- вычислить их площади по любой формуле;
- сложить все результаты.
Что делать, если в задаче даны координаты вершин многоугольника?
То есть известен набор пар чисел для каждой точки, которые ограничивают стороны фигуры. Обычно они записываются как (x 1 ; y 1) для первой, (x 2 ; y 2) — для второй, а n-ая вершина имеет такие значения (x n ; y n). Тогда площадь многоугольника определяется, как сумма n слагаемых. Каждое из них выглядит так: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). В этом выражении i изменяется от единицы до n.
Стоит отметить, что знак результата будет зависеть от обхода фигуры. При использовании указанной формулы и движении по часовой стрелке ответ будет получаться отрицательным.
Пример задачи
Условие. Координаты вершин заданы такими значениями (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Требуется вычислить площадь многоугольника.
Решение. По формуле, указанной выше, первое слагаемое будет равно (1.8 + 0.6)/2 * (3.6 - 2.1). Здесь нужно просто взять значения для игрека и икса от второй и первой точек. Несложный расчет приведет к результату 1.8.
Второе слагаемое аналогично получается: (2.2 + 1.8)/2 * (2.3 - 3.6) = -2.6. При решении подобных задач не стоит пугаться отрицательных величин. Все идет так, как нужно. Это планомерно.
Подобным образом получаются значения для третьего (0.29), четвертого (-6.365) и пятого слагаемых (2.96). Тогда итоговая площадь равна: 1.8 + (-2.6) + 0.29 + (-6.365) + 2.96 = - 3.915.
Совет по решению задачи, для которой многоугольник изображен на бумаге в клетку
Чаще всего озадачивает то, что в данных имеется только размер клеточки. Но оказывается, что больше сведений не нужно. Рекомендацией к решению такой задачи является разбивание фигуры на множество треугольников и прямоугольников. Их площади довольно просто сосчитать по длинам сторон, которые потом легко сложить.
Но часто есть более простой подход. Он заключается в том, чтобы дорисовать фигуру до прямоугольника и вычислить значение его площади. Потом сосчитать площади тех элементов, которые оказались лишними. Вычесть их из общего значения. Этот вариант порой предполагает несколько меньшее число действий.