Пересечение высот в прямоугольном треугольнике. Взаимосвязь с радиусом

Взаимосвязь с радиусом

Вам понадобится четкое понимание треугольников, чтобы ответить на другие вопросы о полигонах, координатной геометрии и тригонометрии. К счастью для вас, основные правила, регулирующие треугольники, мало и легко освоить. Теперь, если вы знаете меры двух углов треугольника, вы сможете найти третью. Полезное правило, не так ли?

Внешний угол треугольника - это угол, образованный продолжением одной из сторон треугольника за вершиной. Внешний угол всегда является дополнением к внутреннему углу, с которым он разделяет вершину и по размеру равен сумме мер удаленных внутренних углов.

Не имеет значения, какая сторона треугольника вы расширяете, чтобы создать внешний угол; внешний угол всегда будет дополнять внутренний угол, с которым он имеет вершину и, следовательно, равен сумме удаленных внутренних углов. Третьим важным свойством треугольников является правило неравенства треугольника, которое гласит: длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон и больше разницы длин двух других сторон.

Например, взгляните на этот треугольник. Это приводит нас к последнему основному свойству треугольников, что связано с отношениями между углами треугольника и длинами сторон треугольника. В каждом треугольнике самая длинная сторона противоположна наибольшему углу, а самая короткая сторона противоположна наименьшему углу.

Эта пропорциональность боковых длин и угловых мер справедлива для всех треугольников. Но перед тем, как попасть в различные типы специальных треугольников, мы должны сделать минутку, чтобы объяснить маркировки, которые мы используем, для описания свойств каждого конкретного треугольника. Например, приведенная ниже фигура имеет две пары сторон равной длины и три пары углов конгруэнтности: они показывают, что стороны имеют равную длину. Дуги, втянутые в А и В, показывают, что эти углы конгруэнтны. На некоторых диаграммах может быть более одной пары равных сторон или конгруэнтных углов.

В этом случае двойные метки хэша или двойные дуги могут быть втянуты в пару сторон или углов, чтобы указать, что они равны друг другу, но не обязательно равны другой паре сторон или углов. Теперь, к специальным треугольникам. Скальнейский треугольник не имеет равных сторон и не имеет равных углов.

Треугольник, содержащий две стороны равной длины, называется равнобедренным треугольником. В равнобедренном треугольнике два угла, противоположные сторонам равной длины, являются конгруэнтными. Эти углы обычно называют опорными углами. Нет такой вещи, как треугольник с двумя равными сторонами и без конгруэнтных углов, или наоборот. Из правила пропорциональности, если треугольник имеет две равные стороны, то два угла, противоположные этим сторонам, являются конгруэнтными, а если треугольник имеет два конгруэнтных угла, то обе стороны, противоположные этим углам, равны.

Треугольник, стороны которого равны по длине, называется равносторонним треугольником. Все три угла в равностороннем треугольнике также конгруэнтны; мера каждого составляет 60º. Как и в случае с равнобедренными треугольниками, если вы знаете, что треугольник имеет либо три равные стороны, либо три конгруэнтных угла, тогда вы знаете, что другое должно быть истинным.

Треугольник, содержащий правый угол, называется правым треугольником. Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой правого треугольника, а две другие стороны называются ногами. Углы, противоположные ногам правого треугольника, дополняют друг друга.

Теорема Пифагора важна для большинства проблем на правильных треугольниках. Это также будет полезно позже, когда вы изучаете координатную геометрию и тригонометрию. Поскольку правильные треугольники подчиняются теореме Пифагора, только некоторые из них имеют длины сторон, которые являются целыми числами. Например, правый треугольник с ножками длины 3 и 5 имеет гипотенузу длины =.

Помимо этих пифагорейских троек, вы также должны следить за их кратными. Если, например, вы знаете, что сторона, противоположная углу 30º, составляет 2 метра в длину, то, используя соотношение 1: 2: вы знаете, что гипотенуза имеет длину 4 метра, а нога напротив угла 60º - 2 метра.

Этот тип треугольника также известен как равнобедренный правый треугольник, поскольку он является равнобедренным и правильным. Хотя нет простой формулы для определения области для большинства четырехугольников и большинства полигонов в этом отношении, мы увидели, что для специальных параллелограмм и трапеций в четырехуровне имеются конкретные формулы для определения области. Однако область треугольника. Вот почему так важно, чтобы любой многоугольник можно было разделить на несколько треугольников.

Площадь многоугольника равна сумме площадей всех треугольников внутри него. Площадь треугольника может быть рассчитана тремя способами. Наиболее распространенным выражением для области треугольника является половина произведения основания и высоты. Высота формально называется высотой и равна длине сегмента линии с одной конечной точкой в ​​вершине, а другая конечная точка на линии, которая содержит сторону, противоположную вершине. Как и все высоты, этот отрезок должен быть перпендикулярен линии, содержащей сторону.

Сторона, противоположная заданной вершине, называется базой треугольника. Вот некоторые треугольники, изображенные с их высотами. Рисунок%: Различные треугольники и их высоты. Другой способ вычисления площади треугольника называется формулой Херсона, названной в честь математика, который первым доказал формулу, которая была обработана. Это полезно, только если вы знаете длины сторон треугольника. Формула использует термин Полупермитер треугольника равен половине суммы длин сторон. Доказательство Формулы Херона довольно сложное и не обсуждалось здесь, но его формула работает как шарм, особенно если все, что известно о треугольнике, - это длины его сторон.

Третий и последний способ расчета площади треугольника связан с углами, а также с боковыми длинами треугольника. Любой треугольник имеет три стороны и три угла. Они известны как шесть частей треугольника. Площадь такого треугольника равна половине произведения длины двух сторон и синуса их включенного угла.

Особенности высот в разных треугольниках

С помощью этих инструментов можно рассчитать площадь треугольников и, как мы увидим, суммируя области треугольников внутри многоугольника, можно рассчитать площадь любого многоугольника. Каждая сторона треугольника имеет определенную высоту. Высота в остроугольном треугольнике лежит внутри треугольника. Тогда точка пересечения высоты находится внутри треугольника.

В тупоугольном треугольнике некоторые высоты лежат вне треугольника! Когда вы удлиняете их, они режут себя. Пересечение высоты в тупых треугольниках всегда находится за пределами треугольника. Эти стороны являются конечностями правого угла. Точка пересечения высоты также является угловой точкой. В этом углу находится правильный угол.

Так работает строительство второй высоты

Шаг: Включите круговую точку с пересечением круговой дуги со стороной и нарисуйте новую круговую дугу с тем же радиусом. Вы снова получите два пересечения дуг.

Последняя высота выполняется быстро

Поскольку вы можете построить трансверсали, вы узнаете о предмете «углов, основных конструкций и симметрии», потому что нужно построить вертикаль, центр или биссектрису. Центральные линии - прямые. Они перпендикулярны треугольным сторонам и проходят через их центральные точки. Три центральные линии пересекаются в точке, и эта точка является центром окружности треугольника: для каждой точки центральной линии на том же расстоянии от конечных точек соответствующей стороны треугольника, поэтому пересечение центральных линий имеет одинаковое расстояние от всех трех вершин.

В частности, для каждого треугольника существует ровно один круг, проходящий через три вершины, окружность треугольника. Используйте круг для построения центральных линий. Выберите радиус так, чтобы круги пересекались в двух точках. В этом примере две другие центральные линии были нарисованы с использованием инструментов «Центр» и «Вертикаль». Вы можете построить третий центр для управления. Если он не пересекается с первыми двумя прямыми в пересечении, то вы нарисованы нечистыми. Пересечение центральных линий лежит на тупоугольном треугольнике за пределами треугольника.

Даже сейчас вы можете снова проверить, нарисованы ли вы аккуратно, поскольку все три точки треугольника должны лежать на периметре. Постройте центр круга. Итак, вы рисуете треугольник, вершины которого лежат на круге. Круг - это периметр треугольника. Итак, вы строите центральные линии по крайней мере на двух сторонах треугольника и, таким образом, получаете центр окружности как точку пересечения.

Центр круга всегда является точкой пересечения центральных линий каждого треугольника, вершины которого лежат на окружности. Для прямоугольного треугольника сторона, противоположная прямому углу, всегда является диаметром круга. Таким образом, центр круга является центром стороны, противоположной прямому углу.